論文の概要: Learning Discontinuous Galerkin Solutions to Elliptic Problems via Small Linear Convolutional Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2502.08783v1
• Date: Wed, 12 Feb 2025 20:53:34 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-02-14 13:47:15.687685
• Title: Learning Discontinuous Galerkin Solutions to Elliptic Problems via Small Linear Convolutional Neural Networks
• Title（参考訳）: 小線形畳み込みニューラルネットワークによる楕円問題に対する不連続なガレルキン解の学習
• Authors: Adrian Celaya, Yimo Wang, David Fuentes, Beatrice Riviere,
• Abstract要約: 線形畳み込みニューラルネットワークを用いてPDEに対する不連続なガレルキン解を学習するための2つの手法を提案する。 第一のアプローチは教師付きでラベル付きデータに依存しますが、第二のアプローチは教師なしで、いかなるトレーニングデータにも依存していません。 どちらの場合も、我々の手法は類似の数値ベースニューラルネットワークよりもかなり少ないパラメータを使用し、楕円問題に対する真とDGの解に匹敵する精度を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.124958340749622
• License:
• Abstract: In recent years, there has been an increasing interest in using deep learning and neural networks to tackle scientific problems, particularly in solving partial differential equations (PDEs). However, many neural network-based methods, such as physics-informed neural networks, depend on automatic differentiation and the sampling of collocation points, which can result in a lack of interpretability and lower accuracy compared to traditional numerical methods. To address this issue, we propose two approaches for learning discontinuous Galerkin solutions to PDEs using small linear convolutional neural networks. Our first approach is supervised and depends on labeled data, while our second approach is unsupervised and does not rely on any training data. In both cases, our methods use substantially fewer parameters than similar numerics-based neural networks while also demonstrating comparable accuracy to the true and DG solutions for elliptic problems.
• Abstract（参考訳）: 近年,特に偏微分方程式(PDE)の解法において,深層学習やニューラルネットワークによる科学的問題への取り組みへの関心が高まっている。 しかし、物理インフォームドニューラルネットワークのような多くのニューラルネットワークベースの手法は、自動微分とコロケーション点のサンプリングに依存しており、従来の数値法に比べて解釈可能性の欠如と精度の低下をもたらす可能性がある。 この問題に対処するために,小さな線形畳み込みニューラルネットワークを用いて不連続なガレルキン解をPDEに学習する2つの手法を提案する。 第一のアプローチは教師付きでラベル付きデータに依存しますが、第二のアプローチは教師なしで、いかなるトレーニングデータにも依存していません。 どちらの場合も、我々の手法は類似の数値ベースニューラルネットワークよりもかなり少ないパラメータを使用し、楕円問題に対する真とDGの解に匹敵する精度を示す。

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