Fugu-MT 論文翻訳(概要): Topological Autoencoders++: Fast and Accurate Cycle-Aware Dimensionality Reduction

論文の概要: Topological Autoencoders++: Fast and Accurate Cycle-Aware Dimensionality Reduction

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2502.20215v1
Date: Thu, 27 Feb 2025 15:55:23 GMT
ステータス: 翻訳完了
システム内更新日: 2025-02-28 14:55:33.950189
Title: Topological Autoencoders++: Fast and Accurate Cycle-Aware Dimensionality Reduction
Title（参考訳）: トポロジカルオートエンコーダ++:高速かつ高精度なサイクル認識次元削減
Authors: Mattéo Clémot, Julie Digne, Julien Tierny,
Abstract要約: 我々はトポロジカルオートエンコーダ(TopoAE)の定式化に基づいて構築する。平面中のリプス濾過のためのPHの正確な計算のための新しい高速アルゴリズムを提案する。また,Wasserstein距離によって測定された位相的精度と,低次元の周期の視覚的保存とのバランスも向上する。
参考スコア（独自算出の注目度）: 5.393664305233901
License:
Abstract: This paper presents a novel topology-aware dimensionality reduction approach aiming at accurately visualizing the cyclic patterns present in high dimensional data. To that end, we build on the Topological Autoencoders (TopoAE) formulation. First, we provide a novel theoretical analysis of its associated loss and show that a zero loss indeed induces identical persistence pairs (in high and low dimensions) for the $0$-dimensional persistent homology (PH$^0$) of the Rips filtration. We also provide a counter example showing that this property no longer holds for a naive extension of TopoAE to PH$^d$ for $d\ge 1$. Based on this observation, we introduce a novel generalization of TopoAE to $1$-dimensional persistent homology (PH$^1$), called TopoAE++, for the accurate generation of cycle-aware planar embeddings, addressing the above failure case. This generalization is based on the notion of cascade distortion, a new penalty term favoring an isometric embedding of the $2$-chains filling persistent $1$-cycles, hence resulting in more faithful geometrical reconstructions of the $1$-cycles in the plane. We further introduce a novel, fast algorithm for the exact computation of PH for Rips filtrations in the plane, yielding improved runtimes over previously documented topology-aware methods. Our method also achieves a better balance between the topological accuracy, as measured by the Wasserstein distance, and the visual preservation of the cycles in low dimensions. Our C++ implementation is available at https://github.com/MClemot/TopologicalAutoencodersPlusPlus.
Abstract（参考訳）: 本稿では,高次元データに存在する循環パターンを正確に可視化することを目的とした,新しいトポロジ対応次元減少手法を提案する。そのために、トポロジカルオートエンコーダ(TopoAE)の定式化を構築した。まず、関連する損失に関する新しい理論的解析を行い、ゼロ損失は、リップス濾過の0$次元持続ホモロジー(PH$^0$)に対して、実際に同一の永続対(高次元と低次元)を誘導することを示す。また、この性質がもはや TopoAE の PH$^d$ for $d\ge 1$ への素な拡張を保たないことを示す反例を示す。そこで本研究では,TopoAEを1次元持続ホモロジー(PH$^1$)に一般化したTopoAE++を提案する。この一般化はカスケード歪み(カスケード歪み)という概念に基づいており、これは2ドルチェーンが1ドルサイクルを持続的に満たす等尺的な埋め込みを好む新しいペナルティ項であり、結果として平面内の1ドルサイクルのより忠実な幾何的再構成をもたらす。さらに,平面上のRipフィルタに対するPHの正確な計算のための新しい高速アルゴリズムを導入し,従来文書化されていたトポロジ対応手法よりも優れたランタイムを実現する。また,Wasserstein距離によって測定された位相的精度と,低次元の周期の視覚的保存とのバランスも向上する。私たちのC++実装はhttps://github.com/MClemot/TopologicalAutoencodersPlusPlusで公開しています。

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