論文の概要: Quantum Geometry insights in Deep Learning
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.02655v1
- Date: Sat, 01 Mar 2025 15:49:32 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-03-05 19:13:08.099440
- Title: Quantum Geometry insights in Deep Learning
- Title（参考訳）: 深層学習における量子幾何学的洞察
- Authors: Noémie C. Combe,
- Abstract要約: まずボルツマン学習の構造と自由エネルギー最小化との関係について概説する。
次に、最適輸送理論と深層学習の関連性を確立し、モンゲ・アンペア方程式が生成モデルにおける確率変換をどのように支配するかを示す。
本稿では,再正規化群 (RG) の流れに基づく別の手法を提案する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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- Abstract: In this paper, we explore the fundamental role of the Monge-Amp\`ere equation in deep learning, particularly in the context of Boltzmann machines and energy-based models. We first review the structure of Boltzmann learning and its relation to free energy minimization. We then establish a connection between optimal transport theory and deep learning, demonstrating how the Monge-Amp\`ere equation governs probability transformations in generative models. Additionally, we provide insights from quantum geometry, showing that the space of covariance matrices arising in the learning process coincides with the Connes-Araki-Haagerup (CAH) cone in von Neumann algebra theory. Furthermore, we introduce an alternative approach based on renormalization group (RG) flow, which, while distinct from the optimal transport perspective, reveals another manifestation of the Monge-Amp\`ere domain in learning dynamics. This dual perspective offers a deeper mathematical understanding of hierarchical feature learning, bridging concepts from statistical mechanics, quantum geometry, and deep learning theory.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,ディープラーニングにおけるMonge-Amp\`ere方程式の基本的な役割について,特にボルツマンマシンとエネルギーモデルを用いて検討する。
まずボルツマン学習の構造と自由エネルギー最小化との関係について概説する。
次に、最適輸送理論と深層学習の関連性を確立し、モンゲ・アンプ・エル方程式が生成モデルにおける確率変換をどのように支配するかを示す。
さらに、量子幾何学からの洞察を提供し、学習過程で生じる共分散行列の空間はフォン・ノイマン代数論におけるコーン=アラキ=ハジェップ(CAH)錐と一致することを示した。
さらに,再正規化群(RG)フローに基づく別の手法を提案する。この手法は,最適輸送の観点からは異なるが,学習力学におけるモンジェ・アンプ・エレ領域の別の顕在化を明らかにしている。
この双対の視点は、階層的特徴学習、統計力学、量子幾何学、深層学習理論の概念のブリッジングに関するより深い数学的理解を提供する。
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