論文の概要: Learning and discovering multiple solutions using physics-informed neural networks with random initialization and deep ensemble

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.06320v1
• Date: Sat, 08 Mar 2025 19:32:22 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-03-11 15:45:33.486325
• Title: Learning and discovering multiple solutions using physics-informed neural networks with random initialization and deep ensemble
• Title（参考訳）: ランダム初期化とディープアンサンブルを用いた物理情報ニューラルネットワークによる複数解の学習と発見
• Authors: Zongren Zou, Zhicheng Wang, George Em Karniadakis,
• Abstract要約: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)の複数の解を発見する能力について検討する。 PINNは、非線形常微分方程式と偏微分方程式の複数の解を効果的に発見することができる。 本稿では,従来の数値解法におけるPINN生成解を初期条件や初期推定として利用することを提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.047968926134363
• License:
• Abstract: We explore the capability of physics-informed neural networks (PINNs) to discover multiple solutions. Many real-world phenomena governed by nonlinear differential equations (DEs), such as fluid flow, exhibit multiple solutions under the same conditions, yet capturing this solution multiplicity remains a significant challenge. A key difficulty is giving appropriate initial conditions or initial guesses, to which the widely used time-marching schemes and Newton's iteration method are very sensitive in finding solutions for complex computational problems. While machine learning models, particularly PINNs, have shown promise in solving DEs, their ability to capture multiple solutions remains underexplored. In this work, we propose a simple and practical approach using PINNs to learn and discover multiple solutions. We first reveal that PINNs, when combined with random initialization and deep ensemble method -- originally developed for uncertainty quantification -- can effectively uncover multiple solutions to nonlinear ordinary and partial differential equations (ODEs/PDEs). Our approach highlights the critical role of initialization in shaping solution diversity, addressing an often-overlooked aspect of machine learning for scientific computing. Furthermore, we propose utilizing PINN-generated solutions as initial conditions or initial guesses for conventional numerical solvers to enhance accuracy and efficiency in capturing multiple solutions. Extensive numerical experiments, including the Allen-Cahn equation and cavity flow, where our approach successfully identifies both stable and unstable solutions, validate the effectiveness of our method. These findings establish a general and efficient framework for addressing solution multiplicity in nonlinear differential equations.
• Abstract（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)の複数の解を発見する能力について検討する。 流体流のような非線形微分方程式(DE)によって支配される多くの実世界の現象は、同じ条件下で複数の解を示すが、この解の多重性は依然として重要な課題である。 重要な困難は、適切な初期条件や初期推定を与えることであり、広く使われている時間マーチングスキームとニュートンの反復法は複雑な計算問題の解を見つけるのに非常に敏感である。 マシンラーニングモデル、特にPINNは、DESの解決において有望であることを示しているが、複数のソリューションをキャプチャする能力はまだ探索されていない。 本研究では、PINNを用いて複数の解を学習し、発見するためのシンプルで実践的なアプローチを提案する。 PINNとランダム初期化法とディープアンサンブル法(もともと不確実な定量化のために開発された)を組み合わせることで、非線形常微分方程式や偏微分方程式(ODEs/PDEs)に対する複数の解を効果的に発見できることを最初に明らかにした。 提案手法では,解の多様性形成において初期化が重要な役割を担い,科学計算における機械学習の見過ごされがちな側面に対処する。 さらに,従来の数値解法において,PINN生成した解を初期条件や初期推定として利用することにより,複数の解を捕捉する精度と効率を向上させることを提案する。 アレン・カーン方程式やキャビティフローを含む大規模な数値実験を行い,本手法の有効性を検証した。 これらの結果は、非線形微分方程式の解乗法に対処するための汎用的で効率的な枠組みを確立している。

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