論文の概要: On the asymptotic behaviour of stochastic processes, with applications to supermartingale convergence, Dvoretzky's approximation theorem, and stochastic quasi-Fejér monotonicity

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2504.12922v1
• Date: Thu, 17 Apr 2025 13:11:26 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-04-18 14:35:03.148037
• Title: On the asymptotic behaviour of stochastic processes, with applications to supermartingale convergence, Dvoretzky's approximation theorem, and stochastic quasi-Fejér monotonicity
• Title（参考訳）: 確率過程の漸近的挙動とスーパーマーチンゲール収束、ドヴォルツキーの近似定理、および確率的準フェジェール単調性への応用について
• Authors: Morenikeji Neri, Nicholas Pischke, Thomas Powell,
• Abstract要約: 我々は, ある緩和されたスーパーマーチンゲール条件に適合するプロセスの挙動について, 新規かつ一般的な結果を示す。 我々は近似からよく知られた概念と定理の新しい定量的バージョンを導き出す。 我々は、高速で、特に線形な速度で構築できる結果の特別な事例について論じる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: We prove a novel and general result on the asymptotic behavior of stochastic processes which conform to a certain relaxed supermartingale condition. Our result provides quantitative information in the form of an explicit and effective construction of a rate of convergence for this process, both in mean and almost surely, that is moreover highly uniform in the sense that it only depends on very few data of the surrounding objects involved in the iteration. We then apply this result to derive new quantitative versions of well-known concepts and theorems from stochastic approximation, in particular providing effective rates for a variant of the Robbins-Siegmund theorem, Dvoretzky's convergence theorem, as well as the convergence of stochastic quasi-Fej\'er monotone sequences, the latter of which formulated in a novel and highly general metric context. We utilize the classic and widely studied Robbins-Monro procedure as a template to evaluate our quantitative results and their applicability in greater detail. We conclude by illustrating the breadth of potential further applications with a brief discussion on a variety of other well-known iterative procedures from stochastic approximation, covering a range of different applied scenarios to which our methods can be immediately applied. Throughout, we isolate and discuss special cases of our results which even allow for the construction of fast, and in particular linear, rates.
• Abstract（参考訳）: 本研究では, ある緩和スーパーマーチンゲール条件に適合する確率過程の漸近的挙動について, 新規かつ一般的な結果を示す。 我々の結果は、平均的かつほぼ確実に、この過程における収束率の明示的で効果的な構成という形で定量的情報を提供する。 この結果を適用すると、よく知られた概念と定理の新しい定量的バージョンを確率近似から導き、特にロビンス=ジークムントの定理の変種、ドヴォルツキーの収束定理、および確率的準フェール単調列の収束に対して有効率を与える。 本稿では,古典的かつ広く研究されているRobins-Monro法をテンプレートとして,定量的な結果と適用性についてより詳細に評価する。 確率的近似から他のよく知られた反復的な手順について簡単な議論を行い、我々の手法を即座に適用できる様々な応用シナリオを概説することで、さらなる応用の可能性の広さを明らかにした。 全体として、高速で、特に線形なレートの構築を可能にする結果の特別なケースを分離し、議論する。

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