論文の概要: Solving Nonlinear PDEs with Sparse Radial Basis Function Networks
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2505.07765v1
- Date: Mon, 12 May 2025 17:12:53 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-05-13 20:21:49.505677
- Title: Solving Nonlinear PDEs with Sparse Radial Basis Function Networks
- Title（参考訳）: スパースラジアル基底関数ネットワークを用いた非線形PDEの解法
- Authors: Zihan Shao, Konstantin Pieper, Xiaochuan Tian,
- Abstract要約: 本稿では,スパルスラジアル基底関数(RBF)ネットワークを用いた非線形PDEの解法を提案する。
この研究は、従来のRBFコロケーション法における長年にわたる課題と、物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)とガウス過程(GP)アプローチの限界によって動機付けられている。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We propose a novel framework for solving nonlinear PDEs using sparse radial basis function (RBF) networks. Sparsity-promoting regularization is employed to prevent over-parameterization and reduce redundant features. This work is motivated by longstanding challenges in traditional RBF collocation methods, along with the limitations of physics-informed neural networks (PINNs) and Gaussian process (GP) approaches, aiming to blend their respective strengths in a unified framework. The theoretical foundation of our approach lies in the function space of Reproducing Kernel Banach Spaces (RKBS) induced by one-hidden-layer neural networks of possibly infinite width. We prove a representer theorem showing that the solution to the sparse optimization problem in the RKBS admits a finite solution and establishes error bounds that offer a foundation for generalizing classical numerical analysis. The algorithmic framework is based on a three-phase algorithm to maintain computational efficiency through adaptive feature selection, second-order optimization, and pruning of inactive neurons. Numerical experiments demonstrate the effectiveness of our method and highlight cases where it offers notable advantages over GP approaches. This work opens new directions for adaptive PDE solvers grounded in rigorous analysis with efficient, learning-inspired implementation.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,スパルスラジアル基底関数(RBF)ネットワークを用いた非線形PDEの解法を提案する。
過パラメータ化を防止し、冗長な特徴を減らすために、スポーサリティプロモーティング正規化が使用される。
この研究は、従来のRBFのコロケーション法における長年にわたる課題と、物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)とガウス過程(GP)アプローチの限界によって動機付けられ、それぞれの強みを統一されたフレームワークにブレンドすることを目指している。
我々のアプローチの理論的基礎は、無限の幅を持つ一層ニューラルネットワークによって誘導される再生カーネルバナッハ空間(RKBS)の関数空間にある。
我々は、RKBSにおけるスパース最適化問題の解が有限解を認め、古典的数値解析を一般化するための基礎となる誤差境界を確立することを示す代表者定理を証明した。
このアルゴリズムフレームワークは、適応的特徴選択、二階最適化、不活性ニューロンのプルーニングによる計算効率を維持する3相アルゴリズムに基づいている。
数値実験により提案手法の有効性を実証し,GP手法よりも顕著な優位性を示した。
この研究は、厳密な分析を基礎とした適応型PDE解法に、効率的で学習にインスパイアされた実装で新たな方向性を開く。
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