論文の概要: The non-Clifford cost of random unitaries

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2505.10110v2
• Date: Mon, 26 May 2025 09:52:57 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-05-27 14:32:54.856813
• Title: The non-Clifford cost of random unitaries
• Title（参考訳）: ランダムユニタリの非クリフォードコスト
• Authors: Lorenzo Leone, Salvatore F. E. Oliviero, Alioscia Hamma, Jens Eisert, Lennart Bittel,
• Abstract要約: 我々は$t$ドープクリフォード回路のアンサンブルを$n$ qubitsで探索する。 厳密な収束境界をユニタリな$k$-設計に向けて確立する。 ランダムドープされたクリフォード回路のアンサンブル上で回転する演算子の解析式を導出する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.2796197251957244
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Recent years have enjoyed a strong interest in exploring properties and applications of random quantum circuits. In this work, we explore the ensemble of $t$-doped Clifford circuits on $n$ qubits, consisting of Clifford circuits interspersed with $t$ single-qubit non-Clifford gates. We establish rigorous convergence bounds towards unitary $k$-designs, revealing the intrinsic cost in terms of non-Clifford resources in various flavors. First, we analyze the $k$-th order frame potential, which quantifies how well the ensemble of doped Clifford circuits is spread within the unitary group. We prove that a quadratic doping level, $t = \tilde{\Theta}(k^2)$, is both necessary and sufficient to approximate the frame potential of the full unitary group. As a consequence, we refine existing upper bounds on the convergence of the ensemble towards state $k$-designs. Second, we derive tight bounds on the convergence of $t$-doped Clifford circuits towards relative-error $k$-designs, showing that $t = \tilde{\Theta}(nk)$ is both necessary and sufficient for the ensemble to form a relative $\varepsilon$-approximate $k$-design. Similarly, $t = \tilde{\Theta}(n)$ is required to generate pseudo-random unitaries. All these results highlight that generating random unitaries is extremely costly in terms of non-Clifford resources, and that such ensembles fundamentally lie beyond the classical simulability barrier. Additionally, we introduce doped-Clifford Weingarten functions to derive analytic expressions for the twirling operator over the ensemble of random doped Clifford circuits, and we establish their asymptotic behavior in relevant regimes.
• Abstract（参考訳）: 近年は、ランダム量子回路の特性と応用の探求に強い関心を集めている。 本研究では,$t$ドープクリフォード回路のアンサンブルを$n$ qubitsで探索する。 我々は、単位の$k$-designsに対する厳密な収束境界を確立し、様々なフレーバーにおける非クリフォード資源の観点から本質的なコストを明らかにする。 第一に、ドープされたクリフォード回路のアンサンブルがユニタリグループ内でどれだけうまく拡散しているかを定量化する、$k$-次フレームポテンシャルを解析する。 二次ドーピングレベルである $t = \tilde{\Theta}(k^2)$ は、全ユニタリ群のフレームポテンシャルを近似するのに必要かつ十分であることを示す。 結果として、アンサンブルの状態 $k$- 設計への収束に関する既存の上限を洗練させる。 次に、相対誤差$k$-designs に対する$t$ドープクリフォード回路の収束に関する厳密な境界を導き、$t = \tilde{\Theta}(nk)$ が相対誤差 $k$-design を形成するのに必要かつ十分であることを示す。 同様に、$t = \tilde{\Theta}(n)$ は擬似ランダムなユニタリを生成するために必要である。 これらの結果は、ランダムなユニタリの生成は、非クリフォード資源の観点では非常にコストがかかり、そのようなアンサンブルが古典的なシミュラビリティ障壁を超えることを浮き彫りにしている。 さらに、ドップ・クリフォード・ワインガルテン関数を導入して、ランダムなドップ・クリフォード回路のアンサンブル上でのツイリング作用素の解析式を導出し、それらの漸近挙動を関連する状態において確立する。

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