論文の概要: New aspects of quantum topological data analysis: Betti number estimation, and testing and tracking of homology and cohomology classes

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.01432v1
• Date: Mon, 02 Jun 2025 08:43:58 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-06-05 01:42:09.29004
• Title: New aspects of quantum topological data analysis: Betti number estimation, and testing and tracking of homology and cohomology classes
• Title（参考訳）: 量子トポロジデータ分析の新しい側面:ホモロジーとコホモロジークラスのベティ数推定とテストと追跡
• Authors: Nhat A. Nghiem, Junseo Lee,
• Abstract要約: トポロジカルデータ解析における中心的課題であるベッチ数の推定(正規化)のために、いくつかの量子アルゴリズムが提案されている。 近ごろ、ベッチ数の推定がNPハード問題であることが証明され、この問題に対する一般的な量子優位性を達成するための複雑性理論上の制限が明らかにされた。 我々は、より情報的な形で単純複体が特定され、代替量子アルゴリズムがベッチ数と永続ベッチ数を推定できるシナリオを考察する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.8988769052522807
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Recently, the application of quantum computation to topological data analysis (TDA) has received increasing attention. In particular, several quantum algorithms have been proposed for estimating (normalized) Betti numbers, a central challenge in TDA. However, it was recently proven that estimating Betti numbers is an NP-hard problem, revealing a complexity-theoretic limitation to achieving a generic quantum advantage for this task. Motivated by this limitation and inspired by previous progress, we explore broader quantum approaches to TDA. First, we consider scenarios in which a simplicial complex is specified in a more informative form, enabling alternative quantum algorithms to estimate Betti numbers and persistent Betti numbers. We then move beyond Betti numbers and study the problem of testing the homology class of a given cycle, as well as distinguishing between homology classes. We also introduce cohomological techniques for these problems, along with a quantum algorithm. We then discuss their potential use in the testing and tracking of homology classes, which can be useful for TDA applications. Our results show that, despite the hardness of general Betti number estimation, quantum algorithms can still offer speed-ups in structured settings.
• Abstract（参考訳）: 近年,トポロジカルデータ解析(TDA)への量子計算の適用が注目されている。 特に、TDAにおける中心的課題であるベティ数の推定(正規化)のために、いくつかの量子アルゴリズムが提案されている。 しかし、最近、ベッチ数の推定がNPハード問題であることが証明され、この問題に対する一般的な量子優位性を達成するための複雑性理論上の制限が明らかになった。 この制限に触発され、以前の進歩にインスパイアされた我々は、より広範な量子アプローチをTDAに探求する。 まず、より情報的な形で単純複体が特定され、代替量子アルゴリズムがベッチ数と永続ベッチ数を推定できるシナリオを考える。 次に、ベッチ数を超えて、与えられたサイクルのホモロジークラスをテストすることの問題を研究し、ホモロジークラスを区別する。 また、これらの問題に対するコホモロジー手法と量子アルゴリズムについても紹介する。 次に、TDAアプリケーションに有用なホモロジークラスのテストおよび追跡におけるそれらの可能性について論じる。 以上の結果から,一般ベッチ数推定の難しさにもかかわらず,量子アルゴリズムは構造化設定における高速化を実現することができることがわかった。

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