論文の概要: New aspects of quantum topological data analysis: Betti number estimation, and testing and tracking of homology and cohomology classes

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.01432v2
• Date: Mon, 30 Jun 2025 09:08:24 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-07-01 15:08:39.538018
• Title: New aspects of quantum topological data analysis: Betti number estimation, and testing and tracking of homology and cohomology classes
• Title（参考訳）: 量子トポロジデータ分析の新しい側面:ホモロジーとコホモロジークラスのベティ数推定とテストと追跡
• Authors: Junseo Lee, Nhat A. Nghiem,
• Abstract要約: 我々は,ベッチ数を推定するための改良された量子アルゴリズムを実現するために,追加の位相情報へのアクセスが可能であることを示す。 ホモロジー追跡に基づく新しいアプローチを導入し,ラプラシアンカーネルの計算を回避した。 これはベッチ数が小さい場合でも効率的であり続け、実質的かつ指数的なスピードアップをもたらす。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.8988769052522807
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The application of quantum computation to topological data analysis (TDA) has received growing attention. While estimating Betti numbers is a central task in TDA, general complexity theoretic limitations restrict the possibility of quantum speedups. To address this, we explore quantum algorithms under a more structured input model. We show that access to additional topological information enables improved quantum algorithms for estimating Betti and persistent Betti numbers. Building on this, we introduce a new approach based on homology tracking, which avoids computing the kernel of combinatorial Laplacians used in prior methods. This yields a framework that remains efficient even when Betti numbers are small, offering substantial and sometimes exponential speedups. Beyond Betti number estimation, we formulate and study the homology property testing problem, and extend our approach to the cohomological setting. We present quantum algorithms for testing triviality and distinguishing homology classes, revealing new avenues for quantum advantage in TDA.
• Abstract（参考訳）: トポロジカルデータ解析(TDA)への量子計算の適用は注目されている。 ベッチ数の推定はTDAの中心的なタスクであるが、一般的な複雑性理論の制限は量子スピードアップの可能性を制限する。 これを解決するために、より構造化された入力モデルの下で量子アルゴリズムを探索する。 我々は,ベッチ数と永続ベッチ数を推定するための改良された量子アルゴリズムを実現するために,追加のトポロジ情報へのアクセスが可能であることを示す。 そこで我々は, 相同性追跡に基づく新しい手法を導入し, 従来手法で用いられていた組合せラプラシアンのカーネルの計算を回避した。 これはベッチ数が小さい場合でも効率的であり続け、実質的かつ指数的なスピードアップをもたらす。 ベッチ数推定以外にも、ホモロジー特性試験問題を定式化し研究し、コホモロジー設定へのアプローチを拡張する。 本稿では, 自明性を検証し, ホモロジークラスを識別するための量子アルゴリズムを提案する。

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