論文の概要: Quantum Circuit Encodings of Polynomial Chaos Expansions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.01811v2
• Date: Tue, 03 Jun 2025 10:37:30 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-06-05 01:42:09.314351
• Title: Quantum Circuit Encodings of Polynomial Chaos Expansions
• Title（参考訳）: 多項式カオス展開の量子回路符号化
• Authors: Junaid Aftab, Christoph Schwab, Haizhao Yang, Jakob Zech,
• Abstract要約: 可算パラメトリックな正則写像 $u:Uto mathbbR$, ここでパラメータ領域は$U=[-1,1]mathbbN$である。 我々は、これらのパラメトリックマップの一般化カオス(gPC)展開の最良の$n$の長期トラニケーションを通じて、次元非依存の量子回路近似速度を確立する。 本結果は,アプリケーションにおける広範囲のマップに対する量子化アルゴリズムに影響を及ぼす。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.63729124086755
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This work investigates the expressive power of quantum circuits in approximating high-dimensional, real-valued functions. We focus on countably-parametric holomorphic maps $u:U\to \mathbb{R}$, where the parameter domain is $U=[-1,1]^{\mathbb{N}}$. We establish dimension-independent quantum circuit approximation rates via the best $n$-term truncations of generalized polynomial chaos (gPC) expansions of these parametric maps, demonstrating that these rates depend solely on the summability exponent of the gPC expansion coefficients. The key to our findings is based on the fact that so-called ``$(\boldsymbol{b},\epsilon)$-holomorphic'' functions, where $\boldsymbol{b}\in (0,1]^\mathbb N \cap \ell^p(\mathbb N)$ for some $p\in(0,1)$, permit structured and sparse gPC expansions. Then, $n$-term truncated gPC expansions are known to admit approximation rates of order $n^{-1/p + 1/2}$ in the $L^2$ norm and of order $n^{-1/p + 1}$ in the $L^\infty$ norm. We show the existence of parameterized quantum circuit (PQC) encodings of these $n$-term truncated gPC expansions, and bound PQC depth and width via (i) tensorization of univariate PQCs that encode Cheby\v{s}ev-polynomials in $[-1,1]$ and (ii) linear combination of unitaries (LCU) to build PQC emulations of $n$-term truncated gPC expansions. The results provide a rigorous mathematical foundation for the use of quantum algorithms in high-dimensional function approximation. As countably-parametric holomorphic maps naturally arise in parametric PDE models and uncertainty quantification (UQ), our results have implications for quantum-enhanced algorithms for a wide range of maps in applications.
• Abstract（参考訳）: 本研究では,高次元実数値関数の近似における量子回路の表現力について検討する。 可算パラメトリックな正則写像 $u:U\to \mathbb{R}$, ここでパラメータ領域は$U=[-1,1]^{\mathbb{N}}$である。 我々は、これらのパラメトリック写像の一般化多項式カオス(gPC)展開の最高値である$n$のtruncationsを通じて次元非依存の量子回路近似速度を確立し、これらの速度がgPC展開係数の和性指数のみに依存することを示した。 我々の発見の鍵となるのは、いわゆる ``$(\boldsymbol{b},\epsilon)$-holomorphic'' 関数であり、$\boldsymbol{b}\in (0,1]^\mathbb N \cap \ell^p(\mathbb N)$ for some $p\in(0,1)$, allowing structured and sparse gPC expansions。 すると、$n$ 長期 truncated gPC 拡張は、$L^2$ノルムと$L^\infty$ノルムの位数 $n^{-1/p + 1}$の近似率を許容することが知られている。 我々は、これらの$n$のtruncated gPC拡張のパラメータ化量子回路(PQC)エンコーディングと、PQCの深さと幅の制限の存在を示す。 i) Cheby\v{s}ev-polynomials を $[-1,1]$ でエンコードする単変量 PQC のテンソル化 (II) ユニタリ(LCU)の線形結合により、$n$のtruncated gPC展開のPQCエミュレーションを構築する。 この結果は、高次元関数近似に量子アルゴリズムを使用するための厳密な数学的基礎を提供する。 パラメトリックな正則写像はパラメトリックPDEモデルや不確実量化(UQ)において自然に発生するため、本研究の結果は幅広い応用地図に対する量子化アルゴリズムに影響を及ぼす。

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