論文の概要: Epsilon-nets, unitary designs and random quantum circuits

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2007.10885v3
• Date: Sun, 31 Oct 2021 14:25:01 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-05-08 21:00:03.281177
• Title: Epsilon-nets, unitary designs and random quantum circuits
• Title（参考訳）: エプシロンネット、ユニタリ設計およびランダム量子回路
• Authors: Micha{\l} Oszmaniec, Adam Sawicki, Micha{\l} Horodecki
• Abstract要約: エプシロンネット(Epsilon-nets)は、量子情報や量子コンピューティングにおける多くの応用に関連するユニタリ演算の概念である。 固定された$d$に対して、$delta$-approx $t$-expanders を構成するユニタリが $epsilon$-nets for $tsimeqfracd5/2epsilon$ および $delta=left(fracepsilon3/2dright)d2$ となることを証明している。 近似tdesign が生成可能であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.11719282046304676
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Epsilon-nets and approximate unitary $t$-designs are natural notions that capture properties of unitary operations relevant for numerous applications in quantum information and quantum computing. The former constitute subsets of unitary channels that are epsilon-close to any unitary channel in the diamond norm. The latter are ensembles of unitaries that (approximately) recover Haar averages of polynomials in entries of unitary channels up to order $t$. In this work we establish quantitative connections between these two notions. Specifically, we prove that, for a fixed dimension $d$ of the Hilbert space, unitaries constituting $\delta$-approximate $t$-expanders form $\epsilon$-nets for $t\simeq\frac{d^{5/2}}{\epsilon}$ and $\delta=\left(\frac{\epsilon^{3/2}}{d}\right)^{d^2}$. We also show that $\epsilon$-nets can be used to construct $\delta$-approximate unitary $t$-designs for $\delta= \epsilon t$. Finally, we prove that the degree of an exact unitary $t$-design necessary to obtain an $\epsilon$-net must grow at least fast as $\frac1\epsilon$ (for fixed $d$) and not slower than $d^2$ (for fixed $\epsilon$). This shows near optimality of our result connecting $t$-designs and $\epsilon$-nets. We apply our findings in the context of quantum computing. First, we show that that approximate t-designs can be generated by shallow random circuits formed from a set of universal two-qudit gates in the parallel and sequential local architectures. Our gate sets need not to be symmetric (i.e. contain gates together with their inverses) or consist of gates with algebraic entries. We also show a non-constructive version of the Solovay-Kitaev theorem for general universal gate sets. Our main technical contribution is a new construction of efficient polynomial approximations to the Dirac delta in the space of quantum channels, which can be of independent interest.
• Abstract（参考訳）: エプシロン・ネット(Epsilon-nets)と近似ユニタリ・$-Designs(英語版)は、量子情報や量子コンピューティングにおける多くの応用に関連するユニタリ演算の性質を捉える自然概念である。 前者は、ダイヤモンドノルム内の任意のユニタリチャネルとエプシロン閉であるユニタリチャネルの部分集合を構成する。 後者はユニタリのアンサンブルであり、(ほぼ)ユニタリチャネルのエントリ内の多項式のhaar平均を(およそ)$t$まで回復する。 この2つの概念の間に定量的な関係を確立する。 具体的には、ヒルベルト空間の固定次元$d$に対して、$\delta$-approximate $t$-expanders form $\epsilon$-nets for $t\simeq\frac{d^{5/2}}{\epsilon}$および$\delta=\left(\frac{\epsilon^{3/2}}{d}\right)^{d^2}$を構成するユニタリが証明される。 さらに、$\epsilon$-netsを使って$\delta$-approximate Unitary $t$-designs for $\delta= \epsilon t$を構築できることを示す。 最後に、$\epsilon$-netを得るのに必要なユニタリな$t$-設計の度合が少なくとも$\frac1\epsilon$(固定$d$)で、$d^2$(固定$\epsilon$)よりも遅くならないことを証明します。 これは、 $t$-designs と $\epsilon$-nets を接続する結果のほぼ最適性を示している。 我々はこの発見を量子コンピューティングの文脈に適用する。 まず、並列およびシーケンシャルな局所アーキテクチャにおいて、一組の普遍的な2量子ゲートからなる浅いランダム回路によって近似t-設計が生成されることを示す。 我々のゲート集合は対称である必要はなく(つまり、それらの逆数とともにゲートを含む)、代数的エントリを持つゲートからなる。 また、一般の普遍ゲート集合に対するソロヴェイ・キタエフの定理の非構成版を示す。 我々の主要な技術的貢献は、量子チャネルの空間におけるディラックデルタに対する効率的な多項式近似の新しい構成である。

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