論文の概要: Quantum Framework for Simulating Linear PDEs with Robin Boundary Conditions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.20478v1
• Date: Wed, 25 Jun 2025 14:23:38 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-06-26 21:00:42.782904
• Title: Quantum Framework for Simulating Linear PDEs with Robin Boundary Conditions
• Title（参考訳）: ロビン境界条件による線形PDEシミュレーションのための量子フレームワーク
• Authors: Nikita Guseynov, Xiajie Huang, Nana Liu,
• Abstract要約: 一般線形偏微分方程式(PDE)を数値シミュレーションするための明示的でオラクルのない量子フレームワークを提案する。 我々のアプローチは、一般的な有限差分法による離散化から始まり、結果の系を1つの満足なユニタリ量子進化に変換するためにシュロディンガー化法を適用する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6144680854063939
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We propose an explicit, oracle-free quantum framework for numerically simulating general linear partial differential equations (PDEs) that extends previous work \cite{guseynov2024efficientPDE} to also encompass (a) Robin boundary conditions (which includes Neumann and Dirichlet boundary conditions as special cases), (b) inhomogeneous terms, and (c) variable coefficients in space and time. Our approach begins with a general finite-difference discretization and applies the Schrodingerisation technique to transform the resulting system into one satisfying unitary quantum evolution so quantum simulation can be applied. For the Schrodinger equation corresponding to the discretized PDE, we construct an efficient block-encoding of $H$, scaling polylogarithmically with the number of grid points $N$. This object is compatible with quantum signal processing, to create the evolution operator $e^{-iHt}$. The oracle-free nature of our method allows us to count complexity in more fundamental units (C-NOTs and one-qubit rotations), bypassing the inefficiencies of oracle queries. Thus, the overall algorithm scales polynomially with $N$ and linearly with spatial dimension $d$, offering a polynomial speedup in $N$ and an exponential advantage in $d$, alleviating the classical curse of dimensionality. The correctness and efficiency of the proposed approach are further supported by numerical simulations. By explicitly defining the quantum operations and their resource requirements, our approach stands as a practical solution for solving PDEs, distinct from others that rely on oracle queries and purely asymptotic scaling methods.
• Abstract（参考訳）: 一般線形偏微分方程式(PDE)を数値的にシミュレートするための明示的でオラクルのない量子フレームワークを提案する。 (a)ロビン境界条件(特別の場合としてノイマンおよびディリクレ境界条件を含む) (b)不均質な用語、及び (c) 空間と時間における変数係数。 我々のアプローチは、一般的な有限差分法による離散化から始まり、結果の系を1つの満足なユニタリ量子進化に変換し、量子シミュレーションを適用することができる。 離散化 PDE に対応するシュロディンガー方程式に対し、効率の良いブロックエンコーディングを$H$で構築し、格子点数$N$とポリ対数的にスケーリングする。 このオブジェクトは量子信号処理と互換性があり、進化作用素 $e^{-iHt}$ を生成する。 提案手法のオラクルフリーな性質により,より基本的な単位(C-NOT, 1-qubit 回転)の複雑性を計算し,オラクルクエリの不効率を回避できる。 したがって、全体的なアルゴリズムは多項式を$N$で、空間次元$d$で線型にスケールし、多項式のスピードアップを$N$で、指数関数的に$d$で提供し、古典的な次元の呪いを緩和する。 提案手法の正しさと効率性は数値シミュレーションによりさらに裏付けられる。 量子演算とそのリソース要求を明確に定義することにより、我々のアプローチは、オラクルクエリや純粋に漸近的なスケーリング手法に依存する他の方法とは異なる、PDEを解決するための実践的なソリューションとして立証される。

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