論文の概要: Arbitrary Boundary Conditions and Constraints in Quantum Algorithms for Differential Equations via Penalty Projections

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.21751v1
• Date: Thu, 26 Jun 2025 20:14:32 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-06-30 21:12:23.007073
• Title: Arbitrary Boundary Conditions and Constraints in Quantum Algorithms for Differential Equations via Penalty Projections
• Title（参考訳）: ペナルティ射影による微分方程式の量子アルゴリズムにおける任意境界条件と制約
• Authors: Philipp Schleich, Tyler Kharazi, Xiangyu Li, Jin-Peng Liu, Alán Aspuru-Guzik, Nathan Wiebe,
• Abstract要約: 複雑な境界条件は、自然と工学で生じる現象を正確に記述するために不可欠である。 任意の境界条件で微分方程式を解くための効率的な量子アルゴリズムを設計する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.720812431258812
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Complicated boundary conditions are essential to accurately describe phenomena arising in nature and engineering. Recently, the investigation of a potential speedup through quantum algorithms in simulating the governing ordinary and partial differential equations of such phenomena has gained increasing attention. We design an efficient quantum algorithms for solving differential equations with arbitrary boundary conditions. Specifically, we propose an approach to enforce arbitrary boundary conditions and constraints through adding a penalty projection to the governing equations. Assuming a fast-forwardable representation of the projection to ensure an efficient interaction picture imulation, the cost of to enforce the constraints is at most $O(\log\lambda)$ in the strength of the penalty $\lambda$ in the gate complexity; in the worst case, this goes as $O([\|v(0)\|^2\|A_0\| + \|b\|_{L^1[0;t]}^2)]t^2/\varepsilon)$, for precision $\varepsilon$ and a dynamical system $\frac{\rm d}{{\rm d}t} v(t) = A_0(t) v(t) + b(t)$ with negative semidefinite $A_0(t)$ of size $n^d\times n^d$. E.g., for the heat equation, this leads to a gate complexity overhead of $\widetilde O(d\log n + \log t)$. We show constraint error bounds for the penalty approach and provide validating numerical experiments, and estimate the circuit complexity using the Linear Combination of Hamiltonian Simulation.
• Abstract（参考訳）: 複雑な境界条件は、自然と工学で生じる現象を正確に記述するために不可欠である。 近年、そのような現象の常微分方程式と偏微分方程式をシミュレートする量子アルゴリズムによるポテンシャル高速化の研究が注目されている。 任意の境界条件で微分方程式を解くための効率的な量子アルゴリズムを設計する。 具体的には、支配方程式にペナルティプロジェクションを加えることによって、任意の境界条件と制約を強制するアプローチを提案する。 効率的な相互作用図イミュレーションを保証するためにプロジェクションの高速フォワード可能な表現を仮定すると、制約を強制するコストは少なくとも$O(\log\lambda)$で、ゲート複雑性におけるペナルティ$\lambda$の強みである。最悪の場合、$O([\|v(0)\|^2\|A_0\| + \|b\|_{L^1[0;t]}^2)]t^2/\varepsilon()$, for precision$\varepsilonと動的システム$\frac{\rm d}{{\rm d}t} v(t) = A_0(t) v(t) + b(t)$ は半有限値$A_0(t)$n^n(d)$n^n(d)$である。 例えば、熱方程式の場合、これは門の複雑さのオーバーヘッドを$\widetilde O(d\log n + \log t)$とする。 ペナルティ手法の制約誤差境界を示し、数値実験を検証し、ハミルトニアンシミュレーションの線形組合せを用いて回路の複雑さを推定する。

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