論文の概要: Learning Beyond Euclid: Curvature-Adaptive Generalization for Neural Networks on Manifolds
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.02999v1
- Date: Tue, 01 Jul 2025 23:16:49 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-07-08 15:46:34.515617
- Title: Learning Beyond Euclid: Curvature-Adaptive Generalization for Neural Networks on Manifolds
- Title（参考訳）: ユークリッドを超えて学ぶ:マニフォールド上のニューラルネットワークの曲率適応的一般化
- Authors: Krisanu Sarkar,
- Abstract要約: 既存の一般化理論はしばしばユークリッド幾何学から導かれる複雑性測度に依存し、非ユークリッド空間の内在的構造を説明できない。
我々は、断面曲率、体積成長、射影半径などの多様体固有の性質を明示的に組み込んだ数界を導出する。
このフレームワークは、本質的な幾何学が学習能力にどのように影響するかを原則的に理解し、構造化データ領域の深層学習に理論的洞察と実践的意味の両方を提供する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: In this work, we develop new generalization bounds for neural networks trained on data supported on Riemannian manifolds. Existing generalization theories often rely on complexity measures derived from Euclidean geometry, which fail to account for the intrinsic structure of non-Euclidean spaces. Our analysis introduces a geometric refinement: we derive covering number bounds that explicitly incorporate manifold-specific properties such as sectional curvature, volume growth, and injectivity radius. These geometric corrections lead to sharper Rademacher complexity bounds for classes of Lipschitz neural networks defined on compact manifolds. The resulting generalization guarantees recover standard Euclidean results when curvature is zero but improve substantially in settings where the data lies on curved, low-dimensional manifolds embedded in high-dimensional ambient spaces. We illustrate the tightness of our bounds in negatively curved spaces, where the exponential volume growth leads to provably higher complexity, and in positively curved spaces, where the curvature acts as a regularizing factor. This framework provides a principled understanding of how intrinsic geometry affects learning capacity, offering both theoretical insight and practical implications for deep learning on structured data domains.
- Abstract（参考訳）: 本研究では,リーマン多様体上のデータに基づいて学習したニューラルネットワークの新しい一般化境界を開発する。
既存の一般化理論はしばしばユークリッド幾何学から導かれる複雑性測度に依存しており、これは非ユークリッド空間の内在的構造を説明できない。
我々は、断面曲率、体積成長、射影半径などの多様体固有の性質を明示的に組み込んだ被覆数境界を導出する。
これらの幾何補正はコンパクト多様体上で定義されるリプシッツニューラルネットワークのクラスに対してよりシャープなラデマッハ複雑性境界をもたらす。
結果として得られる一般化は、曲率が 0 であるときの標準ユークリッド結果の回復を保証するが、高次元の周囲空間に埋め込まれた曲線付き低次元多様体上の設定において、大幅に改善される。
負の湾曲した空間において、指数体積の増大が証明可能なより高い複雑性を導き、正の湾曲した空間では曲率を正則化因子として作用する。
このフレームワークは、本質的な幾何学が学習能力にどのように影響するかを原則的に理解し、構造化データドメインの深層学習に理論的洞察と実践的意味の両方を提供する。
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