論文の概要: Estimating Dataset Dimension via Singular Metrics under the Manifold Hypothesis: Application to Inverse Problems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.07291v1
• Date: Wed, 09 Jul 2025 21:22:59 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-07-11 16:40:15.208212
• Title: Estimating Dataset Dimension via Singular Metrics under the Manifold Hypothesis: Application to Inverse Problems
• Title（参考訳）: マニフォールド仮説に基づくSingular Metricsによるデータセット次元の推定:逆問題への応用
• Authors: Paola Causin, Alessio Marta,
• Abstract要約: 多様体の内在次元を推定し、適切な局所座標を構築し、周囲空間と多様体空間の間の写像を学習する3つの重要な課題に対処する枠組みを提案する。 本稿では,VAEデコーダのプルバック値の数値ランクを解析することにより,データセットのIDを推定することに集中する。 推定IDは、可逆なVAEの混合を用いた局所チャートのアトラスの構築をガイドし、正確な多様体パラメータ化と効率的な推論を可能にする。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6138671548064356
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: High-dimensional datasets often exhibit low-dimensional geometric structures, as suggested by the manifold hypothesis, which implies that data lie on a smooth manifold embedded in a higher-dimensional ambient space. While this insight underpins many advances in machine learning and inverse problems, fully leveraging it requires to deal with three key tasks: estimating the intrinsic dimension (ID) of the manifold, constructing appropriate local coordinates, and learning mappings between ambient and manifold spaces. In this work, we propose a framework that addresses all these challenges using a Mixture of Variational Autoencoders (VAEs) and tools from Riemannian geometry. We specifically focus on estimating the ID of datasets by analyzing the numerical rank of the VAE decoder pullback metric. The estimated ID guides the construction of an atlas of local charts using a mixture of invertible VAEs, enabling accurate manifold parameterization and efficient inference. We how this approach enhances solutions to ill-posed inverse problems, particularly in biomedical imaging, by enforcing that reconstructions lie on the learned manifold. Lastly, we explore the impact of network pruning on manifold geometry and reconstruction quality, showing that the intrinsic dimension serves as an effective proxy for monitoring model capacity.
• Abstract（参考訳）: 高次元のデータセットは、高次元の周囲空間に埋め込まれた滑らかな多様体上のデータを意味する多様体仮説によって示唆されるように、しばしば低次元の幾何学構造を示す。 この洞察は機械学習と逆問題における多くの進歩を支えているが、完全に活用するためには、多様体の内在次元(ID)の推定、適切な局所座標の構築、周囲空間と多様体空間の間の写像の学習という3つの重要なタスクを扱う必要がある。 本研究では,変分オートエンコーダ(VAE)とリーマン幾何学のツールを用いて,これらの課題に対処するフレームワークを提案する。 本稿では,VAEデコーダのプルバック値の数値ランクを解析することにより,データセットのIDを推定することに集中する。 推定IDは、可逆なVAEの混合を用いた局所チャートのアトラスの構築をガイドし、正確な多様体パラメータ化と効率的な推論を可能にする。 このアプローチは、特に生体医用画像において、学習多様体上の再構成を強制することにより、不適切な逆問題に対する解をいかに向上させるかを示す。 最後に,ネットワークプルーニングが多様体形状および再構成品質に与える影響について検討し,本質的な次元がモデルキャパシティのモニタリングに有効であることを示す。

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