論文の概要: A Learning-based Domain Decomposition Method

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.17328v2
• Date: Sun, 27 Jul 2025 18:22:18 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-07-29 12:09:50.61382
• Title: A Learning-based Domain Decomposition Method
• Title（参考訳）: 学習に基づく領域分割法
• Authors: Rui Wu, Nikola Kovachki, Burigede Liu,
• Abstract要約: 複素測地を含む複素PDEのための学習ベース領域分解法(L-DDM)を提案する。 以上の結果から,本手法は,これらの課題に対して現状の手法よりも優れるだけでなく,学習中に見つからない微細構造パターンへの解像不変性や強い一般化をもたらすことが示唆された。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.530365240157909
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Recent developments in mechanical, aerospace, and structural engineering have driven a growing need for efficient ways to model and analyse structures at much larger and more complex scales than before. While established numerical methods like the Finite Element Method remain reliable, they often struggle with computational cost and scalability when dealing with large and geometrically intricate problems. In recent years, neural network-based methods have shown promise because of their ability to efficiently approximate nonlinear mappings. However, most existing neural approaches are still largely limited to simple domains, which makes it difficult to apply to real-world PDEs involving complex geometries. In this paper, we propose a learning-based domain decomposition method (L-DDM) that addresses this gap. Our approach uses a single, pre-trained neural operator-originally trained on simple domains-as a surrogate model within a domain decomposition scheme, allowing us to tackle large and complicated domains efficiently. We provide a general theoretical result on the existence of neural operator approximations in the context of domain decomposition solution of abstract PDEs. We then demonstrate our method by accurately approximating solutions to elliptic PDEs with discontinuous microstructures in complex geometries, using a physics-pretrained neural operator (PPNO). Our results show that this approach not only outperforms current state-of-the-art methods on these challenging problems, but also offers resolution-invariance and strong generalization to microstructural patterns unseen during training.
• Abstract（参考訳）: 機械、航空宇宙、構造工学の最近の進歩は、以前よりもはるかに大きく複雑なスケールで構造をモデル化し分析する効率的な方法の必要性を増大させてきた。 有限要素法のような確立された数値法は信頼性が保たれているが、大規模で幾何学的に複雑な問題を扱う場合、計算コストとスケーラビリティに悩まされることが多い。 近年、非線形マッピングを効率的に近似できるニューラルネットワークベースの手法が期待されている。 しかし、既存のほとんどのニューラルネットワークアプローチは依然として単純なドメインに限られており、複雑なジオメトリを含む現実世界のPDEに適用することは困難である。 本稿では,このギャップに対処する学習ベース領域分解法(L-DDM)を提案する。 このアプローチでは、ドメイン分解スキーム内の代理モデルとして、単純なドメインでトレーニングされた単一のトレーニング済みのニューラル演算子を使用し、大規模で複雑なドメインを効率的に取り組めるようにしています。 抽象PDEの領域分解解の文脈におけるニューラル演算子近似の存在に関する一般的な理論的結果を提供する。 次に,複素幾何学における不連続な微細構造を持つ楕円型PDEの解を物理事前学習型ニューラル演算子 (PPNO) を用いて正確に近似することにより,本手法を実証する。 以上の結果から,本手法は,これらの課題に対して現状の手法よりも優れるだけでなく,学習中に見つからない微細構造パターンへの解像不変性や強い一般化をもたらすことが示唆された。

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