論文の概要: Product-Congruence Games: A Unified Impartial-Game Framework for RSA ($φ$-MuM) and AES (poly-MuM)
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.20087v1
- Date: Sun, 27 Jul 2025 00:29:13 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-07-29 16:23:56.878012
- Title: Product-Congruence Games: A Unified Impartial-Game Framework for RSA ($φ$-MuM) and AES (poly-MuM)
- Title（参考訳）: Product-Congruence Games: RSA(φ$-MuM)とAES(poly-MuM)のための統一Impartial-Game Framework
- Authors: Satyam Tyagi,
- Abstract要約: RSA指数の減少とAES S-boxの反転は隠れた共通性を共有している。
Product-Congruence Gameのトラックは、ヒープ値のモジュラーまたは有限フィールド積を介してプレイする。
このフレームワークを2つのコンパニオンゲームでインスタンス化する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: RSA exponent reduction and AES S-box inversion share a hidden commonality: both are governed by the same impartial combinatorial principle, which we call a Product-Congruence Game (PCG). A Product-Congruence Game tracks play via the modular or finite-field product of heap values, providing a single invariant that unifies the algebraic cores of these two ubiquitous symmetric and asymmetric cryptosystems. We instantiate this framework with two companion games. First, $\phi$-MuM, in which a left-associated "multi-secret" RSA exponent chain compresses into the game of Multiplicative Modular Nim, PCG($k,\{1\}$), where $k = ord_N(g)$. The losing predicate then factorizes via the Chinese remainder theorem, mirroring RSA's structure. Second, poly-MuM, our model for finite-field inversion such as the AES S-box. For poly-MuM we prove the single-hole property inside its threshold region, implying that the Sprague-Grundy values are multiplicative under disjunctive sums in that region. Beyond these instances, we establish four structural theorems for a general Product-Congruence Game PCG($m,R$): (i) single-heap repair above the modulus, (ii) ultimate period $m$ per coordinate, (iii) exact and asymptotic losing densities, and (iv) confinement of optimal play to a finite indeterminacy region. An operation-alignment collapse principle explains why some variants degenerate to a single aggregate while MuM, $\phi$-MuM and poly-MuM retain rich local structure. All ingredients (multiplicative orders, the Chinese remainder theorem, finite fields) are classical; the contribution is the unified aggregation-compression viewpoint that embeds both RSA and AES inside one impartial-game framework, together with the structural and collapse theorems.
- Abstract（参考訳）: RSA指数の減少とAES S-boxの逆転は隠れた共通性を共有している。
Product-Congruence Gameのトラックは、ヒープ値のモジュラーまたは有限フィールド積を介してプレイし、これら2つのユビキタス対称および非対称暗号系の代数的コアを統一する単一の不変量を提供する。
このフレームワークを2つのコンパニオンゲームでインスタンス化する。
まず、$\phi$-MuM は、左の「多重秘密」RSA指数列が乗法的モジュラーニム(PCG($k,\{1\}$)のゲームに圧縮され、$k = ord_N(g)$である。
負けた述語は、RSAの構造を反映した中国の剰余定理によって分解される。
第2に、AES S-boxのような有限場反転モデルであるpoly-MuMである。
ポリMuMの場合、その閾値領域内の単一ホール特性を証明し、Sprague-Grundy値がその領域の解和の下で乗算可能であることを示唆する。
これらの例の他に、一般のProduct-Congruence Game PCG($m,R$):の4つの構造定理を確立する。
一 モジュラーの上の一重補修
(ii)極端期間$m$1座標
(三)正確で漸近的な密度低下
(4)有限不確定領域に対する最適プレイの制限。
操作配向崩壊原理は、MM、$\phi$-MuM、poly-MuMがリッチ局所構造を保持する間、ある変種が単一の集合に退化する理由を説明する。
すべての成分(多重順序、中国の剰余定理、有限体)は古典的であり、その寄与は構造的および崩壊定理とともに、RSAとAESの両方を1つの非部分ゲームフレームワークに埋め込む統合集約圧縮の観点である。
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