論文の概要: Stark-Coleman Invariants and Quantum Lower Bounds: An Integrated Framework for Real Quadratic Fields

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.07640v1
• Date: Mon, 09 Jun 2025 11:06:17 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-06-10 16:33:10.923559
• Title: Stark-Coleman Invariants and Quantum Lower Bounds: An Integrated Framework for Real Quadratic Fields
• Title（参考訳）: Stark-Coleman不変量と量子下界:実二次場統合フレームワーク
• Authors: Ruopengyu Xu, Chenglian Liu,
• Abstract要約: Stark-Coleman不変量 $kappa_p(K) = log_p left( fracvarepsilon_mathrmSt,psigma(varepsilon_mathrmSt,p) mod pmathrmord_p(Delta_K)$$$p$-adic Hodge理論の合成と拡張されたコールマン積分により。 スターク単位はクラス群の幾何学的構造を制約し、計算複雑性障壁の理論的な洞察を与えることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: Class groups of real quadratic fields represent fundamental structures in algebraic number theory with significant computational implications. While Stark's conjecture establishes theoretical connections between special units and class group structures, explicit constructions have remained elusive, and precise quantum complexity bounds for class group computations are lacking. Here we establish an integrated framework defining Stark-Coleman invariants $\kappa_p(K) = \log_p \left( \frac{\varepsilon_{\mathrm{St},p}}{\sigma(\varepsilon_{\mathrm{St},p})} \right) \mod p^{\mathrm{ord}_p(\Delta_K)}$ through a synthesis of $p$-adic Hodge theory and extended Coleman integration. We prove these invariants classify class groups under the Generalized Riemann Hypothesis (GRH), resolving the isomorphism problem for discriminants $D > 10^{32}$. Furthermore, we demonstrate that this approach yields the quantum lower bound $\exp\left(\Omega\left(\frac{\log D}{(\log \log D)^2}\right)\right)$ for the class group discrete logarithm problem, improving upon previous bounds lacking explicit constants. Our results indicate that Stark units constrain the geometric organization of class groups, providing theoretical insight into computational complexity barriers.
• Abstract（参考訳）: 実二次体のクラス群は、重要な計算的意味を持つ代数的数論の基本構造を表す。 スタークの予想は特殊単位とクラス群構造の間の理論的関係を確立するが、明示的な構成は解明され、クラス群計算の正確な量子複雑性境界が欠如している。 ここで、スターク・コールマン不変量 (Stark-Coleman invariants) $\kappa_p(K) = \log_p \left( \frac{\varepsilon_{\mathrm{St},p}}{\sigma(\varepsilon_{\mathrm{St},p})} \right) \mod p^{\mathrm{ord}_p(\Delta_K)}$を$p$adic Hodge理論と拡張コールマン積分によって定義する統合フレームワークを確立する。 これらの不変量は一般化リーマン仮説 (GRH) の下で類群を分類し、判別式 $D > 10^{32}$ の同型問題を解く。 さらに、このアプローチは、クラス群離散対数問題に対して、量子下界 $\exp\left(\Omega\left(\frac{\log D}{(\log \log D)^2}\right)\right)$ を得ることを示した。 以上の結果から,スターク単位はクラス群の幾何学的構造を制約し,計算複雑性障壁の理論的な洞察を与えることが明らかとなった。

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