論文の概要: Tessellation Groups, Harmonic Analysis on Non-compact Symmetric Spaces and the Heat Kernel in view of Cartan Convolutional Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2508.16015v1
• Date: Fri, 22 Aug 2025 00:27:03 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-08-25 16:42:36.211295
• Title: Tessellation Groups, Harmonic Analysis on Non-compact Symmetric Spaces and the Heat Kernel in view of Cartan Convolutional Neural Networks
• Title（参考訳）: タン畳み込みニューラルネットワークから見た非コンパクト対称空間と熱核のテッセル化群と調和解析
• Authors: Pietro Fré, Federico Milanesio, Marcelo Oyarzo, Matteo Santoro, Mario Trigiante,
• Abstract要約: 本稿では,次の段階に進むために必要な数学的基礎的な側面に焦点をあてる。 目的は、数学的に非コンパクト対称空間としてモデル化された層を導入することである。 特に、TS の部分多様体が基底空間であるような Tits Satake (TS) ベクトル束の概念を導入している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In this paper, we continue the development of the Cartan neural networks programme, launched with three previous publications, by focusing on some mathematical foundational aspects that we deem necessary for our next steps forward. The mathematical and conceptual results are diverse and span various mathematical fields, but the inspiring motivation is unified. The aim is to introduce layers that are mathematically modeled as non-compact symmetric spaces, each mapped onto the next one by solvable group homomorphisms. In particular, in the spirit of Convolutional neural networks, we have introduced the notion of Tits Satake (TS) vector bundles where the TS submanifold is the base space. Within this framework, the tiling of the base manifold, the representation of bundle sections using harmonics, and the need for a general theory of separator walls motivated a series of mathematical investigations that produced both definite and partial results. Specifically, we present the group theoretical construction of the separators for all non-compact symmetric spaces $\mathrm{U/H}$, as well as of the $\Delta_{8,3,2}$ tiling group and its normal Fuchsian subgroups, respectively yielding the uniformization of the genus $g=3$ Fermat Quartic and of the genus $g=2$ Bolza surface. The quotient automorphic groups are studied. Furthermore, we found a new representation of the Laplacian Green function and the Heat Kernel on Hyperbolic Spaces $\mathbb{H}^{n}$, and a setup for the construction of the harmonic functions in terms of the spinor representation of pseudo-orthogonal groups. Finally, to obtain an explicit construction of the Laplacian eigenfunctions on the Bolza Riemann surface, we propose and conjecture a new strategy relying on the Abel-Jacobi map of the Riemann surface to its Jacobian variety and the Siegel Theta function.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,次のステップに進むために必要な数学的基礎的な側面に着目し,従来の3つの論文から始まったカルタンニューラルネットワークプログラムの開発を継続する。 数学的および概念的な結果は多様であり、様々な数学的分野にまたがっているが、動機づけの動機付けは統一されている。 目的は、数学的に非コンパクト対称空間としてモデル化された層を導入し、それぞれが可解群準同型によって次の層に写像されることである。 特に、畳み込みニューラルネットワークの精神において、TS 部分多様体が基底空間であるような Tits Satake (TS) ベクトル束の概念を導入している。 この枠組みの中では、基底多様体のタイリング、ハーモニックスを用いたバンドル部分の表現、および分離壁の一般理論の必要性が、決定的な結果と部分的な結果の両方を生み出した一連の数学的研究の動機となった。 具体的には、すべての非コンパクト対称空間 $\mathrm{U/H}$ と $\Delta_{8,3,2}$ のタイリング群とその通常のフクシアン部分群に対する群理論的構成を示し、それぞれ$g=3$フェルマ・カルティック(英語版)と$g=2$ボルツァ曲面(英語版)の均一化をもたらす。 商自己同型群が研究される。 さらに、双曲空間上のラプラシアングリーン函数と熱核の新たな表現、および擬直交群のスピノル表現の観点から調和函数を構築するためのセットアップが発見された。 最後に、ボルザ・リーマン面上のラプラシア固有函数の明示的な構成を得るために、リーマン面のアベル・ヤコビ写像をヤコビ多様体とシーゲル・テータ函数に頼った新しい戦略を提案し、予想する。

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