論文の概要: Equality condition for a matrix inequality by partial transpose

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2508.18644v1
• Date: Tue, 26 Aug 2025 03:42:46 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-08-27 17:42:38.663288
• Title: Equality condition for a matrix inequality by partial transpose
• Title（参考訳）: 部分変換による行列不等式に対する等式条件
• Authors: Nalan Wang, Lin Chen,
• Abstract要約: 部分変換によって生成される行列不等式に対する等式条件について検討する。 sumK_j=1 A_j otimes B_j$ は局所的にエレガントなブロック対角形式に等しいことを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.115763274264731
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The partial transpose map is a linear map widely used quantum information theory. We study the equality condition for a matrix inequality generated by partial transpose, namely $\rank(\sum^K_{j=1} A_j^T \otimes B_j)\le K \cdot \rank(\sum^K_{j=1} A_j \otimes B_j)$, where $A_j$'s and $B_j$'s are respectively the matrices of the same size, and $K$ is the Schmidt rank. We explicitly construct the condition when $A_i$'s are column or row vectors, or $2\times 2$ matrices. For the case where the Schmidt rank equals the dimension of $A_j$, we extend the results from $2\times 2$ matrices to square matrices, and further to rectangular matrices. In detail, we show that $\sum^K_{j=1} A_j \otimes B_j$ is locally equivalent to an elegant block-diagonal form consisting solely of identity and zero matrices. We also study the general case for $K=2$, and it turns out that the key is to characterize the expression of matrices $A_j$'s and $B_j$'s.
• Abstract（参考訳）: 部分転置写像は、広く使われている量子情報理論の線形写像である。 部分変換によって生成される行列不等式に対する等式条件、すなわち $\rank(\sum^K_{j=1} A_j^T \otimes B_j)\le K \cdot \rank(\sum^K_{j=1} A_j \otimes B_j)$ について検討する。 A_i$'s が列ベクトルまたは行ベクトルであるとき、または 2$ 行列であるとき、条件を明示的に構成する。 シュミット階数が A_j$ の次元に等しい場合、結果を 2 倍行列から 2 倍行列へ拡張し、さらに矩形行列へ拡張する。 詳しくは、$\sum^K_{j=1} A_j \otimes B_j$ は恒等行列と零行列のみからなるエレガントなブロック対角形式に局所的に等価であることを示す。 また、K=2$の一般的なケースについても検討し、鍵となるのは行列の式を$A_j$'sと$B_j$'sで特徴づけることであることがわかった。

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