Fugu-MT 論文翻訳(概要): On the connection between Bochner's theorem on positive definite maps and Choi theorem on complete positivity

論文の概要: On the connection between Bochner's theorem on positive definite maps and Choi theorem on complete positivity

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.02529v1
Date: Tue, 02 Sep 2025 17:29:25 GMT
ステータス: 翻訳完了
システム内更新日: 2025-09-04 15:17:04.124971
Title: On the connection between Bochner's theorem on positive definite maps and Choi theorem on complete positivity
Title（参考訳）: 正定値写像上のボヒナーの定理と完全正のChoi定理の関連について
Authors: Sohail, Sahil,
Abstract要約: 正定値写像上のボヒナーの定理と完全正の正のチェイの定理との接続を確立する。ボヒナーの定理が行列の逆半群を考えるとき、完全に正の写像上のチェイの定理に還元されることが示されている。
参考スコア（独自算出の注目度）: 0.007186737422124123
License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
Abstract: In this work, we establish a connection between Bochner's theorem on positive definite maps and Choi theorem on complete positivity. We begin by defining a convolution product between maps from the contracted semigroup algebra $\mathbb{C}_0[S]$ of a semigroup $S$ to an arbitrary associative algebra $\mathcal{A}$. The convolution product makes the space $L(\mathbb{C}_0[S],\mathcal{A})$ of linear maps from $\mathbb{C}_0[S]$ to $\mathcal{A}$ an associative algebra. We prove that the convolution algebra $L(\mathbb{C}_0[S],\mathcal{A})$ and the tensor product algebra $\mathbb{C}_0[S] \otimes \mathcal{A}$ are isomorphic. As a consequence, in the specific case of the inverse semigroup of matrix units, we identify the product in the space of maps on the matrix algebras which is preserved by the Choi-Jamio{\l}kowski isomorphism as convolution. Then, by defining the Fourier transform of a map from $\mathbb{C}_0[S]$ to $M_n(\mathbb{C})$, we derive the Fourier inversion formula when $S$ is a finite inverse semigroup. As a corollary of this formula, we show that in the case of the inverse semigroup of matrix units, the Fourier transformation of a map with respect to the identity representation becomes the Choi matrix of the map and the Fourier inversion formula becomes the Choi inversion formula. Then, by defining the notion of matrix valued positive definite maps, we prove Bochner's theorem in the context of finite inverse semigroup. It is demonstrated that Bochner's theorem reduces to Choi theorem on completely positive maps when the inverse semigroup of matrix units is considered. Additionally, the necessary and sufficient condition on a representation $\rho:M_m \to M_{d_{\rho}}(\mathbb{C})$ such that the Complete positivity vs. positivity correspondence holds between a linear map $\Phi: M_m(\mathbb{C}) \to M_n(\mathbb{C})$ and its Fourier Transform $\widehat{\Phi}(\rho)$ is obtained.
Abstract（参考訳）: 本研究では、正定値写像上のボヒナーの定理と完全正の正のチェイの定理の関連性を確立する。まず、契約された半群代数 $\mathbb{C}_0[S]$ から任意の連想代数 $\mathcal{A}$ への写像の間の畳み込み積を定義する。畳み込み積は、$L(\mathbb{C}_0[S],\mathcal{A})$ を $\mathbb{C}_0[S]$ から $\mathcal{A}$ への線型写像とする。畳み込み代数 $L(\mathbb{C}_0[S],\mathcal{A})$ とテンソル積代数 $\mathbb{C}_0[S] \otimes \mathcal{A}$ が同型であることを証明する。その結果、行列単位の逆半群の特定の場合において、Choi-Jamio{\l}kowski同型によって保存される行列代数上の写像空間の積を畳み込みとして同定する。このとき、写像のフーリエ変換を $\mathbb{C}_0[S]$ から $M_n(\mathbb{C})$ に定義することにより、$S$ が有限逆半群であるときのフーリエ反転式を導出する。この公式の系として、行列単位の逆半群の場合、恒等表現に関する写像のフーリエ変換が写像のチョイ行列となり、フーリエ反転公式がチョイ反転公式となることを示す。そして、行列値の正定値写像の概念を定義することによって、有限逆半群の文脈でボヒナーの定理を証明する。ボヒナーの定理は、行列単位の逆半群を考えるとき、完全に正の写像上のチェイの定理に還元されることが示されている。さらに、表現 $\rho:M_m \to M_{d_{\rho}}(\mathbb{C})$ 上の必要十分条件は、完全正の対正の対応が線型写像 $\Phi: M_m(\mathbb{C}) \to M_n(\mathbb{C})$ とフーリエ変換 $\widehat{\Phi}(\rho)$ の間に成り立つことである。

論文の概要: On the connection between Bochner's theorem on positive definite maps and Choi theorem on complete positivity

関連論文リスト