論文の概要: Geodesics of Quantum Feature Maps on the space of Quantum Operators
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.02795v1
- Date: Tue, 02 Sep 2025 19:56:52 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-09-04 21:40:46.327419
- Title: Geodesics of Quantum Feature Maps on the space of Quantum Operators
- Title（参考訳）: 量子演算子の空間上の量子特徴写像の測地学
- Authors: Andrew Vlasic,
- Abstract要約: この論文は、ユークリッド埋め込み多様体から誘導されるハミルトン量子特徴写像のクラスに対するリーマン幾何学を数学的に確立する。
次に、曲率を計算するために閉形式方程式を厳格に導出する。
この論文は、ポアンカーの半平面の部分集合と2つのよく使われている特徴写像の例で終わる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
- Abstract: Selecting a quantum feature is an essential step in quantum machine learning. There have been many proposed encoding schemes and proposed techniques to test the efficacy of a scheme. From the perspective of information retention, this paper considers the smooth Riemannian geometry structure of a point cloud and how an encoding scheme deforms this geometry once mapped to the space of quantum operators, $\SU(2^N)$. However, a Riemannian manifold structure of the codomain of a quantum feature map has yet to be formalized. Using a ground-up approach, this manuscript mathematically establishes a Riemannian geometry for a general class of Hamiltonian quantum feature maps that are induced from a Euclidean embedded manifold. For this ground-up approach, we first derive a closed form of a vector space and a respective metric, and prove there is a 1-1 correspondence from geodesics on the embedded manifold to the codomain of the encoding scheme. We then rigorously derive closed form equations to calculate curvature. The paper ends with an example with a subset of the Poincar\'e half-plane and two well-used feature maps.
- Abstract（参考訳）: 量子特徴の選択は、量子機械学習における重要なステップである。
提案した符号化方式と,提案手法の有効性を検証するための手法が数多く提案されている。
情報保持の観点からは、点雲の滑らかなリーマン幾何学構造と符号化スキームが、かつて量子作用素の空間に写像されたとき、どのようにこの幾何学を変形させるかを考える。
しかし、量子特徴写像の余領域のリーマン多様体構造はまだ定式化されていない。
基底的アプローチを用いて、この写本はユークリッド埋め込み多様体から誘導されるハミルトン量子特徴写像の一般クラスに対するリーマン幾何学を数学的に確立する。
この基底的アプローチでは、まずベクトル空間とそれぞれの計量の閉形式を導出し、埋め込み多様体上の測地線から符号化スキームの余領域への1-1対応性を証明する。
次に、曲率を計算するために閉形式方程式を厳格に導出する。
この論文は、Poincar\'e 半平面の部分集合と2つのよく使われる特徴写像の例で終わる。
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