論文の概要: Quantum Measurement Trees, II: Quantum Observables as Ortho-Measurable Functions and Density Matrices as Ortho-Probability Measures

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.22617v1
• Date: Fri, 26 Sep 2025 17:43:51 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-29 20:57:54.620042
• Title: Quantum Measurement Trees, II: Quantum Observables as Ortho-Measurable Functions and Density Matrices as Ortho-Probability Measures
• Title（参考訳）: 量子測定木 II: オルソ可測関数としての量子可観測値と密度行列
• Authors: Peter J. Hammond,
• Abstract要約: 有限次元空間 $ Cn $ の量子状態が与えられたとき、量子可観測体の可能な値の範囲は通常、対応するエルミート行列の固有値の離散スペクトルと同一視される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Given a quantum state in the finite-dimensional Hilbert space $ \C^n $, the range of possible values of a quantum observable is usually identified with the discrete spectrum of eigenvalues of a corresponding Hermitian matrix. Here any such observable is identified with: (i) an ``ortho-measurable'' function defined on the Boolean ``ortho-algebra'' generated by the eigenspaces that form an orthogonal decomposition of $ \C^n $; (ii) a ``numerically identified'' orthogonal decomposition of $ \C^n $. The latter means that each subspace of the orthogonal decomposition can be uniquely identified by its own attached real number, just as each eigenspace of a Hermitian matrix can be uniquely identified by the corresponding eigenvalue. Furthermore, any density matrix on $ \C^n $ is identified with a Bayesian prior ``ortho-probability'' measure defined on the linear subspaces that make up the Boolean ortho-algebra induced by its eigenspaces. Then any pure quantum state is identified with a degenerate density matrix, and any mixed state with a probability measure on a set of orthogonal pure states. Finally, given any quantum observable, the relevant Bayesian posterior probabilities of measured outcomes can be found by the usual trace formula that extends Born's rule.
• Abstract（参考訳）: 有限次元ヒルベルト空間 $ \C^n $ の量子状態が与えられたとき、量子可観測体の可能な値の範囲は通常、対応するエルミート行列の固有値の離散スペクトルと同一視される。 ここでは、このような観測可能なものは次のようになる。 (i)$ \C^n $の直交分解を形成する固有空間によって生成されるブール ``ortho-algebra'' 上で定義される ``ortho-measurable'' 関数 (ii)$ \C^n $ の ``numerically identified'' 直交分解。 後者は、直交分解の各部分空間が、エルミート行列の各固有空間が対応する固有値によって一意に識別できるのと同じように、自着実数で一意に特定できることを意味する。 さらに、$ \C^n $ 上の任意の密度行列は、その固有空間によって誘導されるブール直交代数を構成する線型部分空間上で定義されるベイズ前の ` `ortho-probability' 測度と同一視される。 すると、任意の純量子状態は縮退密度行列と直交純状態の集合上の確率測度を持つ混合状態と同一視される。 最後に、任意の量子可観測性を考えると、測定結果のベイズ的後続確率はボルン則を延長する通常のトレース公式によって見ることができる。

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