論文の概要: Polynomials and asymptotic constants in a resurgent problem from 't Hooft
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.26297v1
- Date: Tue, 30 Sep 2025 14:12:31 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-10-01 17:09:04.568864
- Title: Polynomials and asymptotic constants in a resurgent problem from 't Hooft
- Title（参考訳）: Tフーフトからの復活問題における多項式と漸近定数
- Authors: David Broadhurst,
- Abstract要約: G(z)=sum_n>0sqrtnzn$ for $|z|1$ が与えられたとき、分岐カット $zin[1,infty)$ を除いて、その解析的連続性は $|z|ge1$ である。
解は両側収束和 $Gz)=frac12sqrtpisum_ninmathbb Z (2npirm i-qrlog(z))/2-3$ で与えられる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: In a recent study of the quantum theory of harmonic oscillators, Gerard 't Hooft proposed the following problem: given $G(z)=\sum_{n>0}\sqrt{n}z^n$ for $|z|<1$, find its analytic continuation for $|z|\ge1$, excluding a branch-cut $z\in[1,\,\infty)$. A solution is provided by the bilateral convergent sum $G(z)=\frac12\sqrt{\pi}\sum_{n\in{\mathbb Z}}(2n\pi{\rm i}-\log(z))^{-3/2}$. On the negative real axis, $G(-e^u)$ has a sign-constant asymptotic expansion in $1/u^2$, for large positive $u$. Optimal truncation leaves exponentially suppressed terms in an asymptotic expansion $e^{-u}\sum_{k\ge0}P_k(x)/u^k$, with $P_0(x)=x-\frac23$ and $P_k(x)$ of degree $2k+1$ evaluated at $x=u/2-\lfloor u/2\rfloor$. These polynomials become excellent approximations to sinusoids. The amplitude of $P_k(x)$ increases factorially with $k$ and its phase increases linearly, with $P_k(x)\sim\sin((2k+1)C-2\pi x) R^{2k+1}\Gamma(k+\frac12)/\sqrt{2\pi}$, where $C\approx1.0688539158679530121571$ and $R\approx0.5181839789815558726739$ are asymptotic constants that have been determined at 100-digit precision. Their exact values remain to be identified. This work combines results from David C. Woods, on fractional polylogarithms, with evaluations of Hurwitz zeta values by Pari/GP.
- Abstract（参考訳）: G(z)=\sum_{n>0}\sqrt{n}z^n$ for $|z|<1$, find its analysis continuation for $|z|\ge1$, including a branch-cut $z\in[1,\,\infty)$。
解は両側収束和 $G(z)=\frac12\sqrt{\pi}\sum_{n\in{\mathbb Z}}(2n\pi{\rm i}-\log(z))^{-3/2}$ で与えられる。
負の実軸上では、$G(-e^u)$は、大きな正の$u$に対して1/u^2$の符号-定数漸近展開を持つ。
漸近展開 $e^{-u}\sum_{k\ge0}P_k(x)/u^k$, with $P_0(x)=x-\frac23$ and $P_k(x)$ of degree $2k+1$ at $x=u/2-\lfloor u/2\rfloor$ で指数関数的に抑制される。
これらの多項式は正弦波に対して優れた近似となる。
P_k(x)$の振幅は$k$と因子的に増加し、その位相は直線的に増加し、$P_k(x)\sim\sin((2k+1)C-2\pi x) R^{2k+1}\Gamma(k+\frac12)/\sqrt{2\pi}$, ここで$C\approx1.06885851586795301271$と$R\approx0.51818397898558726739$は100桁精度で決定された漸近定数である。
正確な値はまだ特定されていない。
この研究は、デービッド・C・ウッズ(David C. Woods)による分数多元数に関する結果と、パリ/GPによるフルヴィッツゼータ値の評価を組み合わせたものである。
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