論文の概要: Ground state solution of a Kirchhoff type equation with singular potentials

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.07955v1
• Date: Thu, 15 Dec 2022 16:40:48 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-01-09 16:20:04.581663
• Title: Ground state solution of a Kirchhoff type equation with singular potentials
• Title（参考訳）: 特異ポテンシャルを持つキルヒホフ型方程式の基底状態解
• Authors: Thanh Viet Phan
• Abstract要約: E(b)=infBigmathcalE_b(u),|, uin H1(R2), |u|_L2=1Big,$ here $mathcalE_b(u)$は$mathcalE_b(u)= int_R2で定義されるキルヒホフエネルギー関数である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study the existence and blow-up behavior of minimizers for $E(b)=\inf\Big\{\mathcal{E}_b(u) \,|\, u\in H^1(R^2), \|u\|_{L^2}=1\Big\},$ here $\mathcal{E}_b(u)$ is the Kirchhoff energy functional defined by $\mathcal{E}_b(u)= \int_{R^2} |\nabla u|^2 dx+ b(\int_{R^2} |\nabla u|^2d x)^2+\int_{R^2} V(x) |u(x)|^2 dx - \frac{a}{2} \int_{R^2} |u|^4 dx,$ where $a>0$ and $b>0$ are constants. When $V(x)= -|x|^{-p}$ with $0<p<2$, we prove that the problem has (at least) a minimizer that is non-negative and radially symmetric decreasing. For $a\ge a^*$ (where $a^*$ is the optimal constant in the Gagliardo-Nirenberg inequality), we get the behavior of $E(b)$ when $b\to 0^+$. Moreover, for the case $a=a^*$, we analyze the details of the behavior of the minimizers $u_b$ when $b\to 0^+$.
• Abstract（参考訳）: e(b)=\inf\big\{\mathcal{e}_b(u) \,|\, u\in h^1(r^2), \|u\|_{l^2}=1\big\},$ here $\mathcal{e}_b(u)$ is the kirchhoff functional by $\mathcal{e}_b(u)= \int_{r^2} |\nabla u|^2 dx+ b(\int_{r^2} |\nabla u|^2d x)^2+\int_{r^2} v(x) |u(x)|^2 dx - \frac{a}{2} \int_{r^2} |\nabla u|^2d x)^2+\int_{r^2} v(x) |u(x)|^2dx - \frac{a}{2} \int_{r^2}|2}} で定義されるキルヒホフ関数である。 v(x)= -|x|^{-p}$ が 0<p<2$ であるとき、問題は(少なくとも)非負で半径対称な最小値を持つことが証明される。 a\ge a^*$ に対して、$a^*$ はガリアルド=ナイレンバーグの不等式における最適定数であり、$b\to 0^+$ の場合、$E(b)$ の振る舞いを得る。 さらに、$a=a^*$の場合、$b\to 0^+$ の場合の最小値 $u_b$ の挙動の詳細を分析する。

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