論文の概要: Universal Quantitative Abstraction: Categorical Duality and Logical Completeness for Probabilistic Systems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.19444v1
• Date: Wed, 22 Oct 2025 10:16:24 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-25 03:08:15.622268
• Title: Universal Quantitative Abstraction: Categorical Duality and Logical Completeness for Probabilistic Systems
• Title（参考訳）: 普遍的量的抽象化:確率システムのカテゴリー的双対性と論理的完全性
• Authors: Nivar Anwer,
• Abstract要約: 定量的抽象化の統一理論が確率論システムに提示される。 これは圏論、最適輸送、量的モーダル論理を結びつけている。 有限マルコフ決定過程上の正確な検証スイートは、収縮特性を裏付ける。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: A unified theory of quantitative abstraction is presented for probabilistic systems that links category theory, optimal transport, and quantitative modal logic. At its core is a canonical $ \varepsilon $-quotient endowed with a universal property: among all $ \varepsilon $-abstractions, it is the most informative one that respects a prescribed bound on value loss. This construction induces an adjunction between abstraction and realization functors $ (Q_{\varepsilon} \dashv R_{\varepsilon}) $, established via the Special Adjoint Functor Theorem, revealing a categorical duality between metric structure and logical semantics. A behavioral pseudometric is characterized as the unique fixed point of a Bellman-style operator, with contraction and Lipschitz properties proved in a coalgebraic setting. A quantitative modal $ \mu $-calculus is introduced and shown to be expressively complete for logically representable systems, so that behavioral distance coincides with maximal logical deviation. Compositionality under interface refinement is analyzed, clarifying how abstractions interact across system boundaries. An exact validation suite on finite Markov decision processes corroborates the contraction property, value-loss bounds, stability under perturbation, adversarial distinguishability, and scalability, demonstrating both robustness and computational feasibility. The resulting framework provides principled targets for state aggregation and representation learning, with mathematically precise guarantees for value-function approximation in stochastic domains.
• Abstract（参考訳）: 量的抽象の統一理論は、圏論、最適輸送、量的モーダル論理を結びつける確率論的システムに対して提示される。 その中核は普遍性を持つ標準の$ \varepsilon $-quotientであり、すべての$ \varepsilon $-abstractionsの中では、値損失の所定の境界を尊重する最も情報的なものである。 この構成は、特殊随伴関手定理によって確立された抽象関手と実現関手 $ (Q_{\varepsilon} \dashv R_{\varepsilon}) $ の共役を誘導し、計量構造と論理的意味論のカテゴリー的双対性を明らかにする。 振舞い擬距離はベルマン型作用素の特異な固定点として特徴づけられ、収縮とリプシッツの性質は合図的条件で証明される。 定量的モダル $ \mu $-calculus を導入し、論理的に表現可能な系に対して表現的に完全であることが示され、行動距離は最大論理偏差と一致する。 インターフェースの洗練の下での構成性は分析され、システムの境界を越えて抽象化がどのように相互作用するかを明確にする。 有限マルコフ決定過程の正確な検証スイートは、収縮特性、値損失境界、摂動下の安定性、逆微分可能性、スケーラビリティを相関させ、堅牢性と計算可能性の両方を実証する。 結果として得られるフレームワークは、状態集約と表現学習のための原則化された目標を提供し、確率的領域における値関数近似の数学的に正確な保証を提供する。

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