論文の概要: A Foundational Theory of Quantitative Abstraction: Adjunctions, Duality, and Logic for Probabilistic Systems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.19444v2
• Date: Wed, 05 Nov 2025 01:26:07 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-11-06 18:19:32.149868
• Title: A Foundational Theory of Quantitative Abstraction: Adjunctions, Duality, and Logic for Probabilistic Systems
• Title（参考訳）: 量的抽象化の基礎的理論:確率的システムに対する随伴、双対、論理
• Authors: Nivar Anwer, Ezequiel López-Rubio, David Elizondo, Rafael M. Luque-Baena,
• Abstract要約: 大規模あるいは連続的な状態空間は、正確に解析しやすくし、原理化された量的抽象を要求する。 この研究は、圏論、コレージュブラ、量論理、最適輸送を統合することで、そのような抽象の統一理論を発展させる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.362412515574206
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The analysis and control of stochastic dynamical systems rely on probabilistic models such as (continuous-space) Markov decision processes, but large or continuous state spaces make exact analysis intractable and call for principled quantitative abstraction. This work develops a unified theory of such abstraction by integrating category theory, coalgebra, quantitative logic, and optimal transport, centred on a canonical $\varepsilon$-quotient of the behavioral pseudo-metric with a universal property: among all abstractions that collapse behavioral differences below $\varepsilon$, it is the most detailed, and every other abstraction achieving the same discounted value-loss guarantee factors uniquely through it. Categorically, a quotient functor $Q_\varepsilon$ from a category of probabilistic systems to a category of metric specifications admits, via the Special Adjoint Functor Theorem, a right adjoint $R_\varepsilon$, yielding an adjunction $Q_\varepsilon \dashv R_\varepsilon$ that formalizes a duality between abstraction and realization; logically, a quantitative modal $\mu$-calculus with separate reward and transition modalities is shown, for a broad class of systems, to be expressively complete for the behavioral pseudo-metric, with a countable fully abstract fragment suitable for computation. The theory is developed coalgebraically over Polish spaces and the Giry monad and validated on finite-state models using optimal-transport solvers, with experiments corroborating the predicted contraction properties and structural stability and aligning with the theoretical value-loss bounds, thereby providing a rigorous foundation for quantitative state abstraction and representation learning in probabilistic domains.
• Abstract（参考訳）: 確率力学系の解析と制御は(連続空間)マルコフ決定過程のような確率論的モデルに依存するが、大または連続状態空間は正確に解析可能であり、原理化された量的抽象化を要求する。 この研究は、圏論、ココゲブラ、量的論理、最適輸送を統一した理論を開発し、標準の$\varepsilon$-quotient of the behavioral pseudo-metric with a universal property: 振る舞いの差を$\varepsilon$以下に分解するすべての抽象化の中で、最も詳細であり、それを通して同じ割引された値損失保証因子を独特に達成する他の抽象化である。 カテゴリー的には、確率システムのカテゴリから計量仕様のカテゴリへの商関手 $Q_\varepsilon$ は、特殊随伴関手 Theorem を通して、右随伴手 $R_\varepsilon$ を、アドジャンクション $Q_\varepsilon \dashv R_\varepsilon$ を、抽象と実現の間の双対性を形式化する。 この理論はポーランド空間とギリーモナド上で代数的に発展し、最適輸送解法を用いて有限状態モデル上で検証され、予測された収縮特性と構造的安定性を相関させ、理論値損失境界と整合し、確率論的領域における定量的状態抽象化と表現学習のための厳密な基礎を提供する。

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