論文の概要: A Free Probabilistic Framework for Denoising Diffusion Models: Entropy, Transport, and Reverse Processes
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.22778v2
- Date: Sun, 02 Nov 2025 19:17:12 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-11-04 14:12:27.970791
- Title: A Free Probabilistic Framework for Denoising Diffusion Models: Entropy, Transport, and Reverse Processes
- Title（参考訳）: 拡散モデルに基づく自由確率的フレームワーク:エントロピー, 輸送, 逆過程
- Authors: Swagatam Das,
- Abstract要約: 本稿では、自由エントロピーと自由フィッシャー情報の理論に基づく。
我々は拡散を定式化し、演算子値のダイナミクスによって支配される逆過程を定量化する。
結果として生じる力学は、非可換ワッサーシュタイン空間における勾配-フロー構造を持つ。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 22.56299060022639
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: This paper develops a rigorous probabilistic framework that extends denoising diffusion models to the setting of noncommutative random variables. Building on Voiculescu's theory of free entropy and free Fisher information, we formulate diffusion and reverse processes governed by operator-valued stochastic dynamics whose spectral measures evolve by additive convolution. Using tools from free stochastic analysis -- including a Malliavin calculus and a Clark--Ocone representation -- we derive the reverse-time stochastic differential equation driven by the conjugate variable, the analogue of the classical score function. The resulting dynamics admit a gradient-flow structure in the noncommutative Wasserstein space, establishing an information-geometric link between entropy production, transport, and deconvolution. We further construct a variational scheme analogous to the Jordan--Kinderlehrer--Otto (JKO) formulation and prove convergence toward the semicircular equilibrium. The framework provides functional inequalities (free logarithmic Sobolev, Talagrand, and HWI) that quantify entropy dissipation and Wasserstein contraction. These results unify diffusion-based generative modeling with the geometry of operator-valued information, offering a mathematical foundation for generative learning on structured and high-dimensional data.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,拡散モデルを非可換確率変数の設定に拡張する厳密な確率的枠組みを開発する。
自由エントロピーと自由フィッシャー情報の理論に基づいて、スペクトル測度が加法的畳み込みによって進化する作用素値の確率力学によって支配される拡散と逆過程を定式化する。
フリー確率解析(英語版)のツール(マリアヴィン計算とクラーク-オコーネ表現を含む)を用いて、古典的なスコア関数の類似である共役変数によって駆動される逆時間確率微分方程式を導出する。
結果として生じる力学は、非可換ワッサーシュタイン空間における勾配-フロー構造を認め、エントロピーの生成、輸送、デコンボリューションの間の情報-幾何学的リンクを確立する。
さらに、Jordan-Kinderlehrer-Otto (JKO) の定式化に類似した変分スキームを構築し、半円平衡への収束性を証明する。
このフレームワークは、エントロピーの散逸とワッサーシュタインの収縮を定量化する機能的不等式(自由対数ソボレフ、タラグランド、HWI)を提供する。
これらの結果は、拡散に基づく生成モデルと演算子値情報の幾何学を融合させ、構造化および高次元データに対する生成学習の数学的基礎を提供する。
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