論文の概要: Rates and architectures for learning geometrically non-trivial operators
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.09376v1
- Date: Wed, 10 Dec 2025 07:15:07 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-12-11 15:14:53.429627
- Title: Rates and architectures for learning geometrically non-trivial operators
- Title（参考訳）: 幾何学的に非自明な作用素の学習率とアーキテクチャ
- Authors: T. Mitchell Roddenberry, Leo Tzou, Ivan Dokmanić, Maarten V. de Hoop, Richard G. Baraniuk,
- Abstract要約: 深層学習法は、非常に少数のトレーニングサンプルから高次元空間間の演算子を復元できることが証明されている。
一般のラドン変換や測地線変換を含む幾何学的積分作用素を、二重フィブレーション変換を含むように学習理論を拡張した。
この結果は、科学機械学習のための学習オペレーターに関する理論研究の急速な発展に寄与する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 29.400357098551495
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Deep learning methods have proven capable of recovering operators between high-dimensional spaces, such as solution maps of PDEs and similar objects in mathematical physics, from very few training samples. This phenomenon of data-efficiency has been proven for certain classes of elliptic operators with simple geometry, i.e., operators that do not change the domain of the function or propagate singularities. However, scientific machine learning is commonly used for problems that do involve the propagation of singularities in a priori unknown ways, such as waves, advection, and fluid dynamics. In light of this, we expand the learning theory to include double fibration transforms--geometric integral operators that include generalized Radon and geodesic ray transforms. We prove that this class of operators does not suffer from the curse of dimensionality: the error decays superalgebraically, that is, faster than any fixed power of the reciprocal of the number of training samples. Furthermore, we investigate architectures that explicitly encode the geometry of these transforms, demonstrating that an architecture reminiscent of cross-attention based on levelset methods yields a parameterization that is universal, stable, and learns double fibration transforms from very few training examples. Our results contribute to a rapidly-growing line of theoretical work on learning operators for scientific machine learning.
- Abstract（参考訳）: 深層学習法は、数理物理学におけるPDEの解写像や類似の物体などの高次元空間間の演算子を、ごく少数のトレーニングサンプルから復元できることが証明されている。
データ効率性のこの現象は、単純な幾何学を持つ楕円作用素のある種のクラス、すなわち関数の領域を変更したり特異点を伝播したりしない作用素に対して証明されている。
しかし、科学機械学習は、波動、対流、流体力学などの未知の方法で特異点の伝播に関わる問題に対して一般的に用いられる。
これを踏まえ、我々は学習理論を拡張し、一般化されたラドンや測地線変換を含む幾何学的積分作用素を2重フィブレーション変換を含む。
このタイプの作用素は次元性の呪いに苦しめられず、誤差は超代数的に崩壊し、すなわち、トレーニングサンプル数の逆数の任意の固定パワーよりも速くなる。
さらに、これらの変換の幾何を明示的に符号化するアーキテクチャについて検討し、レベレット法に基づくクロスアテンションを連想させるアーキテクチャが、普遍的で安定なパラメータ化をもたらすことを示すとともに、ごく少数のトレーニング例から二重フィブレーション変換を学習する。
この結果は、科学機械学習のための学習オペレーターに関する理論研究の急速な発展に寄与する。
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