論文の概要: Generalization Error Guaranteed Auto-Encoder-Based Nonlinear Model
Reduction for Operator Learning
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.10490v1
- Date: Fri, 19 Jan 2024 05:01:43 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-01-22 16:56:05.436662
- Title: Generalization Error Guaranteed Auto-Encoder-Based Nonlinear Model
Reduction for Operator Learning
- Title（参考訳）: 演算子学習のための一般化誤り保証オートエンコーダに基づく非線形モデル削減
- Authors: Hao Liu, Biraj Dahal, Rongjie Lai, Wenjing Liao
- Abstract要約: 本稿では,オートエンコーダベースニューラルネットワーク(AENet)によるモデル縮小における低次元非線形構造の利用について述べる。
数値実験により,非線形偏微分方程式の解演算子を正確に学習する能力について検証した。
我々の理論的枠組みは、AENetのトレーニングのサンプルの複雑さが、モデル化されたプロセスの本質的な次元と複雑に結びついていることを示している。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.124206935054389
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Many physical processes in science and engineering are naturally represented
by operators between infinite-dimensional function spaces. The problem of
operator learning, in this context, seeks to extract these physical processes
from empirical data, which is challenging due to the infinite or high
dimensionality of data. An integral component in addressing this challenge is
model reduction, which reduces both the data dimensionality and problem size.
In this paper, we utilize low-dimensional nonlinear structures in model
reduction by investigating Auto-Encoder-based Neural Network (AENet). AENet
first learns the latent variables of the input data and then learns the
transformation from these latent variables to corresponding output data. Our
numerical experiments validate the ability of AENet to accurately learn the
solution operator of nonlinear partial differential equations. Furthermore, we
establish a mathematical and statistical estimation theory that analyzes the
generalization error of AENet. Our theoretical framework shows that the sample
complexity of training AENet is intricately tied to the intrinsic dimension of
the modeled process, while also demonstrating the remarkable resilience of
AENet to noise.
- Abstract（参考訳）: 科学と工学における多くの物理過程は自然に無限次元函数空間の間の作用素によって表される。
この文脈での演算子学習の問題は、データの無限次元あるいは高次元性のために困難である経験的データからこれらの物理過程を抽出することを目指している。
この課題に対処する重要な要素は、データ次元と問題サイズの両方を削減するモデル縮小である。
本稿では,オートエンコーダベースニューラルネットワーク(AENet)を用いて,モデル縮小における低次元非線形構造を利用する。
AENetはまず入力データの潜伏変数を学び、次にこれらの潜伏変数から対応する出力データへの変換を学ぶ。
数値実験により,非線形偏微分方程式の解演算子を正確に学習する能力について検証した。
さらに,AENetの一般化誤差を分析する数学的・統計的推定理論を確立する。
我々の理論的な枠組みは、aenetのトレーニングのサンプル複雑性が、モデル化プロセスの固有次元と複雑に結びついていると同時に、aenetのノイズに対する顕著な弾力性も示している。
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