論文の概要: Deep Neural networks for solving high-dimensional parabolic partial differential equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.13256v3
• Date: Fri, 23 Jan 2026 21:08:04 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-01-27 13:23:48.782746
• Title: Deep Neural networks for solving high-dimensional parabolic partial differential equations
• Title（参考訳）: 高次元放物型偏微分方程式を解くためのディープニューラルネットワーク
• Authors: Wenzhong Zhang, Zheyuan Hu, Wei Cai, George EM Karniadakis,
• Abstract要約: 本稿では,高次元パラボリックPDEを解くニューラルネットワークベースの手法をチュートリアル指向で紹介する。 各パラダイムについて、基礎となる数学的定式化と実践的な強みと限界について概説する。 本稿は,高次元PDEの信頼性と拡張性を実現するためのオープン課題と今後の方向性について論じる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.36584254933872
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The numerical solution of high dimensional partial differential equations (PDEs) is severely constrained by the curse of dimensionality (CoD), rendering classical grid--based methods impractical beyond a few dimensions. In recent years, deep neural networks have emerged as a promising mesh free alternative, enabling the approximation of PDE solutions in tens to thousands of dimensions. This review provides a tutorial--oriented introduction to neural--network--based methods for solving high dimensional parabolic PDEs, emphasizing conceptual clarity and methodological connections. We organize the literature around three unifying paradigms: (i) PDE residual--based approaches, including physicsinformed neural networks and their high dimensional variants; (ii) stochastic methods derived from Feynman--Kac and backward stochastic differential equation formulations; and (iii) hybrid derivative--free random difference approaches designed to alleviate the computational cost of derivatives in high dimensions. For each paradigm, we outline the underlying mathematical formulation, algorithmic implementation, and practical strengths and limitations. Representative benchmark problems--including Hamilton--Jacobi--Bellman and Black--Scholes equations in up to 1000 dimensions --illustrate the scalability, effectiveness, and accuracy of the methods. The paper concludes with a discussion of open challenges and future directions for reliable and scalable solvers of high dimensional PDEs.
• Abstract（参考訳）: 高次元偏微分方程式(PDE)の数値解は、次元の呪い(CoD)によって厳しく制約されており、古典的なグリッドベースの手法を数次元を超えて非現実的に適用している。近年では、深層ニューラルネットワークが有望なメッシュフリーな代替手段として出現し、数次元から数千次元のPDEソリューションの近似を可能にしている。この記事では、高次元のパラボリックPDEを解くためのチュートリアル指向の手法を紹介し、概念的明瞭さと方法論的接続を強調する。 我々は3つの統一パラダイムに関する文献を整理する。 i)物理インフォームドニューラルネットワークとその高次元変種を含むPDE残基アプローチ (II)Feynman-Kacおよび後方確率微分方程式の定式化から導かれる確率的方法、及び 3)高次元の微分の計算コストを軽減するために設計されたハイブリッド微分自由ランダム差分法について,各パラダイムについて,基礎となる数学的定式化,アルゴリズムの実装,実用的強みと限界について概説する。 本稿は,高次元PDEの信頼性と拡張性を実現するためのオープン課題と今後の方向性について論じる。

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