論文の概要: Novel method for evaluating the eigenvalues of the Heun differential equation with an application to the Breit equation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.20873v1
• Date: Sun, 18 Jan 2026 17:32:03 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-02-02 02:21:38.581089
• Title: Novel method for evaluating the eigenvalues of the Heun differential equation with an application to the Breit equation
• Title（参考訳）: フン微分方程式の固有値の新しい評価法とブライト方程式への応用
• Authors: P. J. Rijken, Th. A. Rijken,
• Abstract要約: 対応する2階のフン微分方程式と、固有値が決定できる連続分数の導出を行う。 ディラック方程式の正しいエネルギー準位は変数の適切な写像によって得られた結果から導かれることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Eigenvalues of the Breit equation, in which only the static Coulomb potential is considered, have been found. Over the past decades several authors have analyzed the Breit equation to obtain numerically or by approximation an estimation of the energy levels. Various approaches have been used and no determination of the energy levels currently exists that is directly based on the second order Heun differential equation derived. The aim of this work is to provide a method of calculation that can be used to numerically calculate the energy levels for various spin states to high accuracy. From the Breit equation, we derive the corresponding second-order Heun differential equation and continued fraction from which the eigenvalues can be determined very accurately. Next, we present a novel method based on the Green function method, which leads to a semi-infinite determinant from which we are able to obtain the numerical values of the eigenvalues by direct calculation. Using suitable numerical methods for the direct calculation of the continued fraction and the semi-infinite determinant, we show that both methods are consistent within 25 digits of accuracy. We show that the correct energy levels for the Dirac equation follow from our results by a suitable mapping of the variables. The results are in total agreement with earlier calculations found in the literature and extend this by several digits of additional accuracy. The condition on the determinant giving the energy levels provides a rich structure that is promising in extending the results of this work.
• Abstract（参考訳）: 静的クーロンポテンシャルのみを考慮したブライト方程式の固有値が発見されている。 過去数十年にわたって、何人かの著者がブライト方程式を解析し、数値的に、あるいはエネルギーレベルの推定を近似することによって得る。 様々なアプローチが使われており、2階のフン微分方程式から直接導かれるエネルギー準位は決定されていない。 本研究の目的は、様々なスピン状態のエネルギーレベルを高精度に数値計算するために使用できる計算方法を提供することである。 ブライト方程式から、対応する2階のヘン微分方程式と、固有値が非常に正確に決定できる連続分数の導出を行う。 次に,グリーン関数法に基づく新しい手法を提案する。これは,固有値の数値を直接計算することで得られる半無限行列式を導出する。 連続分数と半無限行列の直接計算に適した数値計算法を用いて、両手法が25桁以内の精度で一致していることを示す。 ディラック方程式の正しいエネルギー準位は変数の適切な写像によって得られた結果から導かれることを示す。 結果は、文献にある以前の計算と総じて一致し、これを数桁の精度で拡張する。 エネルギー準位を与える行列式の条件は、この研究の結果を拡張することを約束する豊富な構造を提供する。

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