論文の概要: Relative Wasserstein Angle and the Problem of the $W_2$-Nearest Gaussian Distribution

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.22355v1
• Date: Thu, 29 Jan 2026 22:03:10 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-02-02 18:28:15.086689
• Title: Relative Wasserstein Angle and the Problem of the $W_2$-Nearest Gaussian Distribution
• Title（参考訳）: 相対ワッサーシュタイン角と$W_2$-Nearest Gaussian分布の問題
• Authors: Binshuai Wang, Peng Wei,
• Abstract要約: 本研究では, 最適輸送の枠組みの下で, 経験的分布がガウス性からどこまで逸脱するかを定量化する問題について検討する。 相対変換不変な二次ワッサーシュタイン空間の錐幾何学を利用して、2つの新しい幾何学量を導入する。 この空間の任意の2光線によって生成される充填円錐は平坦であり、角度、射影、内部積が厳密に明確に定義されていることを証明する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.042425236692822
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We study the problem of quantifying how far an empirical distribution deviates from Gaussianity under the framework of optimal transport. By exploiting the cone geometry of the relative translation invariant quadratic Wasserstein space, we introduce two novel geometric quantities, the relative Wasserstein angle and the orthogonal projection distance, which provide meaningful measures of non-Gaussianity. We prove that the filling cone generated by any two rays in this space is flat, ensuring that angles, projections, and inner products are rigorously well-defined. This geometric viewpoint recasts Gaussian approximation as a projection problem onto the Gaussian cone and reveals that the commonly used moment-matching Gaussian can \emph{not} be the \(W_2\)-nearest Gaussian for a given empirical distribution. In one dimension, we derive closed-form expressions for the proposed quantities and extend them to several classical distribution families, including uniform, Laplace, and logistic distributions; while in high dimensions, we develop an efficient stochastic manifold optimization algorithm based on a semi-discrete dual formulation. Experiments on synthetic data and real-world feature distributions demonstrate that the relative Wasserstein angle is more robust than the Wasserstein distance and that the proposed nearest Gaussian provides a better approximation than moment matching in the evaluation of Fréchet Inception Distance (FID) scores.
• Abstract（参考訳）: 本研究では, 最適輸送の枠組みの下で, 経験的分布がガウス性からどこまで逸脱するかを定量化する問題について検討する。 相対変換不変な二次ワッサーシュタイン空間の錐幾何学を利用して、相対的なワッサーシュタイン角と直交射影距離という2つの新しい幾何学量を導入し、非ガウス性の有意義な測度を与える。 この空間の任意の2光線によって生成される充填円錐は平坦であり、角度、射影、内積が厳密に定義されていることを証明する。 この幾何学的視点はガウス錐への射影問題としてガウス近似を再考し、一般的に用いられるモーメントマッチングガウスは与えられた経験分布に対して \(W_2\)-アネレストガウスであることを示した。 一次元では、提案した量に対する閉形式式を導出し、それらを一様分布、ラプラス分布、ロジスティック分布を含む古典分布列に拡張するが、高次元では半離散双対定式化に基づく効率的な確率多様体最適化アルゴリズムを開発する。 合成データと実世界の特徴分布の実験により、相対的なワッサーシュタイン角はワッサーシュタイン距離よりも頑健であり、提案された最も近いガウス角はフレシェ・インセプション距離(FID)スコアの評価においてモーメントマッチングよりも優れた近似を提供することが示された。

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