論文の概要: Solving PDEs in One Shot via Fourier Features with Exact Analytical Derivatives

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2602.10541v1
• Date: Wed, 11 Feb 2026 05:28:58 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-02-12 21:44:01.488233
• Title: Solving PDEs in One Shot via Fourier Features with Exact Analytical Derivatives
• Title（参考訳）: 厳密な分析誘導体を用いたフーリエ特徴によるワンショットPDEの解法
• Authors: Antonin Sulc,
• Abstract要約: 偏微分方程式(PDE)を解くための最近のランダム特徴法は、物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)と比較して計算コストを削減している。 我々は,FastLSQを提案する。FastLSQは,凍結したランダムフーリエ特徴と解析演算子アセンブリを組み合わせることで,最小二乗呼び出しによる線形PDEを解く。 1次元から6次元にまたがる17のPDEのベンチマークにおいて、FastLSQは線形問題に基づく相対的なL2$10-7$0.07の誤差を達成し、最先端の反復的なPINN解法よりも桁違いに正確ではるかに高速である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.15229257192293197
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Recent random feature methods for solving partial differential equations (PDEs) reduce computational cost compared to physics-informed neural networks (PINNs) but still rely on iterative optimization or expensive derivative computation. We observe that sinusoidal random Fourier features possess a cyclic derivative structure: the derivative of any order of $\sin(\mathbf{W}\cdot\mathbf{x}+b)$ is a single sinusoid with a monomial prefactor, computable in $O(1)$ operations. Alternative activations such as $\tanh$, used in prior one-shot methods like PIELM, lack this property: their higher-order derivatives grow as $O(2^n)$ terms, requiring automatic differentiation for operator assembly. We propose FastLSQ, which combines frozen random Fourier features with analytical operator assembly to solve linear PDEs via a single least-squares call, and extend it to nonlinear PDEs via Newton--Raphson iteration where each linearized step is a FastLSQ solve. On a benchmark of 17 PDEs spanning 1 to 6 dimensions, FastLSQ achieves relative $L^2$ errors of $10^{-7}$ in 0.07\,s on linear problems, three orders of magnitude more accurate and significantly faster than state-of-the-art iterative PINN solvers, and $10^{-8}$ to $10^{-9}$ on nonlinear problems via Newton iteration in under 9s.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式(PDE)を解くための最近のランダムな特徴法は、物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)と比較して計算コストを削減しているが、繰り返し最適化や高価な微分計算に依存している。 任意の位数$\sin(\mathbf{W}\cdot\mathbf{x}+b)$の微分は単項プレファクタを持つ単一正弦波であり、$O(1)$演算で計算可能である。 PIELMのような以前のワンショットメソッドで使われる$\tanh$のような別のアクティベーションは、この性質を欠いている。 我々は,FastLSQを提案する。FastLSQは,凍結したランダムフーリエ特徴と解析的演算子アセンブリを組み合わせることで,最小二乗呼び出しで線形PDEを解き,それをNewton-Raphson繰り返しにより非線形PDEに拡張する。 1次元から6次元にまたがる17のPDEのベンチマークにおいて、FastLSQは線形問題に基づく相対的な10^{-7}=10$L^2$誤差、最先端の反復型PINNソルバよりも3桁精度が高く、はるかに高速である。

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