論文の概要: On the estimation rate of Bayesian PINN for inverse problems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2406.14808v1
• Date: Fri, 21 Jun 2024 01:13:18 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-06-24 15:02:37.078687
• Title: On the estimation rate of Bayesian PINN for inverse problems
• Title（参考訳）: 逆問題に対するベイズPINNの推定速度について
• Authors: Yi Sun, Debarghya Mukherjee, Yves Atchade,
• Abstract要約: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)を用いた偏微分方程式(PDE)とその逆問題の解法は、物理学と機械学習のコミュニティにおいて急速に普及しているアプローチである。 我々は,PDEの解のベイズPINN推定器の挙動を$n$独立雑音測定から検討した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.100602879566782
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Solving partial differential equations (PDEs) and their inverse problems using Physics-informed neural networks (PINNs) is a rapidly growing approach in the physics and machine learning community. Although several architectures exist for PINNs that work remarkably in practice, our theoretical understanding of their performances is somewhat limited. In this work, we study the behavior of a Bayesian PINN estimator of the solution of a PDE from $n$ independent noisy measurement of the solution. We focus on a class of equations that are linear in their parameters (with unknown coefficients $\theta_\star$). We show that when the partial differential equation admits a classical solution (say $u_\star$), differentiable to order $\beta$, the mean square error of the Bayesian posterior mean is at least of order $n^{-2\beta/(2\beta + d)}$. Furthermore, we establish a convergence rate of the linear coefficients of $\theta_\star$ depending on the order of the underlying differential operator. Last but not least, our theoretical results are validated through extensive simulations.
• Abstract（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)を用いた偏微分方程式(PDE)とその逆問題の解法は、物理学と機械学習のコミュニティにおいて急速に普及しているアプローチである。 PINNにはいくつかのアーキテクチャがあり、実際に非常に機能するが、その性能に関する理論的理解はやや限られている。 本研究では, PDEの解のベイズPINN推定器の挙動を, $n$独立雑音測定から検討した。 パラメータで線型な方程式のクラス(未知の係数$\theta_\star$)に焦点を当てる。 偏微分方程式が古典解(例えば$u_\star$)を持つとき、$\beta$を順序付けできるとき、ベイズ平均の平均二乗誤差は少なくとも位数$n^{-2\beta/(2\beta + d)}$であることを示す。 さらに、基底微分作用素の順序に応じて、$\theta_\star$ の線型係数の収束率を確立する。 最後に重要なこととして、我々の理論結果は広範なシミュレーションによって検証される。

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