論文の概要: Spectrally Corrected Polynomial Approximation for Quantum Singular Value Transformation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.03998v1
• Date: Wed, 04 Mar 2026 12:40:53 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-05 21:29:15.302964
• Title: Spectrally Corrected Polynomial Approximation for Quantum Singular Value Transformation
• Title（参考訳）: 量子特異値変換のための分光補正多項式近似
• Authors: Krishnan Suresh,
• Abstract要約: 我々は、$K$の固有値が$bA$の事前知識を利用するスペクトル補正を提案する。 1DSC方程式の実験では、ベースに対して回路深さが5倍に減少し、単位忠実度が向上し、コンプライアンスエラーが改善された。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Quantum Singular Value Transformation (QSVT) provides a unified framework for applying polynomial functions to the singular values of a block-encoded matrix. QSVT prepares a state proportional to $\bA^{-1}\bb$ with circuit depth $O(d\cdot\mathrm{polylog}(N))$, where $d$ is the polynomial degree of the $1/x$ approximation and $N$ is the size of $\bA$. Current polynomial approximation methods are over the continuous interval $[a,1]$, giving $d = O(\sqrt{\kap}\log(1/\varepsilon))$, and make no use of any properties of $\bA$. We observe here that QSVT solution accuracy depends only on the polynomial accuracy at the eigenvalues of $\bA$. When all $N$ eigenvalues are known exactly, a pure spectral polynomial $p_{S}$ can interpolate $1/x$ at these eigenvalues and achieve unit fidelity at reduced degree. But its practical applicability is limited. To address this, we propose a spectral correction that exploits prior knowledge of $K$ eigenvalues of $\bA$. Given any base polynomial $p_0$, such as Remez, of degree $d_0$, a $K\times K$ linear system enforces exact interpolation of $1/x$ only at these $K$ eigenvalues without increasing $d_0$. The spectrally corrected polynomial $p_{SC}$ preserves the continuous error profile between eigenvalues and inherits the parity of $p_0$. QSVT experiments on the 1D Poisson equation demonstrate up to a $5\times$ reduction in circuit depth relative to the base polynomial, at unit fidelity and improved compliance error. The correction is agnostic to the choice of base polynomial and robust to eigenvalue perturbations up to $10\%$ relative error. Extension to the 2D Poisson equation suggests that correcting a small fraction of the spectrum may suffice to achieve fidelity above $0.999$.
• Abstract（参考訳）: 量子特異値変換(QSVT)は、ブロック符号化行列の特異値に多項式関数を適用する統一的なフレームワークを提供する。 QSVTは、回路深さ$O(d\cdot\mathrm{polylog}(N))$で$\bA^{-1}\bb$に比例する状態を準備し、$d$は1/x$近似の多項式次数、$N$は$\bA$である。 現在の多項式近似法は、連続区間$[a,1]$を超え、$d = O(\sqrt{\kap}\log(1/\varepsilon))$を与え、$\bA$のいかなる性質も利用しない。 ここでは、QSVT解の精度は、$\bA$の固有値における多項式の精度にのみ依存する。 すべての$N$固有値が正確に知られているとき、純粋なスペクトル多項式$p_{S}$は、これらの固有値に対して1/x$を補間し、単位忠実度を小さくすることができる。 しかし、実用性は限られている。 これを解決するために、K$eigenvalues of $\bA$の事前知識を利用するスペクトル補正を提案する。 次数$d_0$の Remez のような任意の基底多項式 $p_0$ が与えられたとき、$K\times K$線形系は、$d_0$を増すことなくこれらの$K$固有値に対してのみ1/x$の正確な補間を強制する。 スペクトル補正多項式 $p_{SC}$ は固有値間の連続誤差プロファイルを保持し、$p_0$ のパリティを継承する。 1次元ポアソン方程式に関するQSVT実験は、基本多項式に対する回路深さの5倍の減少、単位忠実度、コンプライアンスエラーの改善を示す。 この補正は基底多項式の選択に非依存であり、固有値の摂動は最大10\%$相対誤差まで頑健である。 2Dポアソン方程式の拡張は、スペクトルのごく一部の補正が0.999$を超える忠実性を達成するのに十分であることを示している。

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