Fugu-MT 論文翻訳(概要): What Trace Powers Reveal About Log-Determinants: Closed-Form Estimators, Certificates, and Failure Modes

論文の概要: What Trace Powers Reveal About Log-Determinants: Closed-Form Estimators, Certificates, and Failure Modes

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.12612v1
Date: Sun, 18 Jan 2026 23:04:17 GMT
ステータス: 翻訳完了
システム内更新日: 2026-01-21 22:47:22.700729
Title: What Trace Powers Reveal About Log-Determinants: Closed-Form Estimators, Certificates, and Failure Modes
Title（参考訳）: ログ決定要因に関するトレースパワー:クローズドフォーム推定器、証明書、障害モード
Authors: Piyush Sao,
Abstract要約: トレースパワーへのアクセスを$p_k = tr(Ak)$, 行列パワーが利用可能であれば自然に研究する。非有界条件よりも連続的な正のモーメントが均一に正確であることはない。
参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Abstract: Computing $\log\det(A)$ for large symmetric positive definite matrices arises in Gaussian process inference and Bayesian model comparison. Standard methods combine matrix-vector products with polynomial approximations. We study a different model: access to trace powers $p_k = \tr(A^k)$, natural when matrix powers are available. Classical moment-based approximations Taylor-expand $\log(λ)$ around the arithmetic mean. This requires $|λ- \AM| < \AM$ and diverges when $κ> 4$. We work instead with the moment-generating function $M(t) = \E[X^t]$ for normalized eigenvalues $X = λ/\AM$. Since $M'(0) = \E[\log X]$, the log-determinant becomes $\log\det(A) = n(\log \AM + M'(0))$ -- the problem reduces to estimating a derivative at $t = 0$. Trace powers give $M(k)$ at positive integers, but interpolating $M(t)$ directly is ill-conditioned due to exponential growth. The transform $K(t) = \log M(t)$ compresses this range. Normalization by $\AM$ ensures $K(0) = K(1) = 0$. With these anchors fixed, we interpolate $K$ through $m+1$ consecutive integers and differentiate to estimate $K'(0)$. However, this local interpolation cannot capture arbitrary spectral features. We prove a fundamental limit: no continuous estimator using finitely many positive moments can be uniformly accurate over unbounded conditioning. Positive moments downweight the spectral tail; $K'(0) = \E[\log X]$ is tail-sensitive. This motivates guaranteed bounds. From the same traces we derive upper bounds on $(\det A)^{1/n}$. Given a spectral floor $r \leq λ_{\min}$, we obtain moment-constrained lower bounds, yielding a provable interval for $\log\det(A)$. A gap diagnostic indicates when to trust the point estimate and when to report bounds. All estimators and bounds cost $O(m)$, independent of $n$. For $m \in \{4, \ldots, 8\}$, this is effectively constant time.
Abstract（参考訳）: 大規模対称正定行列に対する計算 $\log\det(A)$ はガウス過程の推論とベイズモデルの比較で現れる。標準的な方法は行列ベクトル積と多項式近似を組み合わせる。トレースパワーへのアクセス$p_k = \tr(A^k)$, 行列パワーが利用可能であれば自然である。古典的なモーメントベースの近似は、算術平均の周りでTaylor-expand $\log(λ)$である。これは、|λ- \AM| < \AM$ を必要とし、$κ> 4$ のときに発散する。代わりにモーメント生成関数 $M(t) = \E[X^t]$ を正規化固有値 $X = λ/\AM$ として扱う。 M'(0) = \E[\log X]$ であるから、対数行列式は $\log\det(A) = n(\log \AM + M'(0))$ -- となる。トレースパワーは正の整数で$M(k)$を与えるが、指数的成長のために$M(t)$を直接補間することは不条件である。変換 $K(t) = \log M(t)$ はこの範囲を圧縮する。 $\AM$ による正規化は、$K(0) = K(1) = 0$ を保証する。これらのアンカーを固定すると、$K$から$m+1$連続整数を補間し、$K'(0)$を推定する。しかし、この局所補間は任意のスペクトルの特徴を捉えることができない。有限個の正のモーメントを用いた連続推定子は、非有界条件よりも均一に正確である。正のモーメントはスペクトルのテールを下げる;$K'(0) = \E[\log X]$はテールに敏感である。これは保証された境界を動機付ける。同じトレースから、$(\det A)^{1/n}$ 上の上限を導出する。スペクトルフロア $r \leq λ_{\min}$ が与えられたとき、モーメント制約の下界が得られ、$\log\det(A)$ の証明可能な区間が得られる。ギャップ診断は、いつポイント推定を信頼するか、いつ境界を報告するかを示す。すべての推定値とバウンダリは$O(m)$で、$n$とは独立である。 m \in \{4, \ldots, 8\}$ の場合、これは事実上定数時間である。

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