論文の概要: Quantum theory over dual-complex numbers

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.17581v1
• Date: Wed, 18 Mar 2026 10:36:17 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-19 18:32:57.651909
• Title: Quantum theory over dual-complex numbers
• Title（参考訳）: 二重複素数上の量子論
• Authors: P. Arrighi, D. Bakircioglu, N. L. Houyet,
• Abstract要約: 量子論をとり、$mathbbC$を$mathbbC[varepsilon]$に置き換える。 量子論を双対複素数の環に拡張する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We take quantum theory and replace $\mathbb{C}$ by $\mathbb{C}[\varepsilon]$ where $\varepsilon^2=0$, i.e. we extend quantum theory to the ring of dual complex numbers. The aim is to develop a common language in which to treat continuous quantum physics and discrete quantum models in a unified manner, including their symmetries. Since quantum theory is linear, introducing $\varepsilon$ is enough to model infinitesimals. A first objection to this programme is that $\mathbb{C}[\varepsilon]$ is not a field, since division by $\varepsilon$ is undefined, while quantum mechanics typically relies on division. A second objection concerns whether unitarity still makes sense given $\varepsilon^2 = 0$. Hence, the core of this work is dedicated to proving that \dual quantum theory remains fully consistent. In particular, norm is preserved at all times, and renormalization never requires dividing by an infinitesimal. An equivalence with conventional quantum theory is demonstrated: the \dual extension of a parametrized quantum operation automatically provides a linear treatment of its first-order variations. As a first example application, we provide a unified description of both the Dirac equation in the continuum and the Dirac Quantum Walk in the discrete. We establish the discrete Lorentz covariance of the latter.
• Abstract（参考訳）: 量子論を採用し、$\mathbb{C}$を$\mathbb{C}[\varepsilon]$に置き換える。 目的は、連続量子物理学と離散量子モデルをその対称性を含む統一的な方法で扱う共通の言語を開発することである。 量子論は線型であるため、$\varepsilon$の導入は無限小をモデル化するのに十分である。 このプログラムに対する最初の反論は、$\mathbb{C}[\varepsilon]$ は体ではない、なぜなら$\varepsilon$ の除算は未定義であるからである。 2つ目の反対は、$\varepsilon^2 = 0$ が与えられたときのユニタリ性が依然として意味を持つかどうかである。 したがって、この研究の核は、双対量子論が完全に一貫したままであることを示すことに集中している。 特にノルムは常に保存され、再正規化は無限小による分割を必要としない。 パラメタライズド量子演算の双対拡張は、自動的にその一階の変分を線形に扱う。 最初の例として、連続体におけるディラック方程式と離散体におけるディラック量子ウォークを統一的に記述する。 我々は後者の離散ローレンツ共分散を確立する。

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