論文の概要: Numerical Considerations for the Construction of Karhunen-Loève Expansions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.19108v1
• Date: Thu, 19 Mar 2026 16:34:46 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-20 17:19:06.268152
• Title: Numerical Considerations for the Construction of Karhunen-Loève Expansions
• Title（参考訳）: Karhunen-Loève展開の数値的考察
• Authors: Cosmin Safta, Habib N. Najm,
• Abstract要約: 本稿では,2次プロセスのためのKLE(Karhunen-Love Extensions)の構築の数値的側面について検討する。 我々は、このフレドホルムに基づく固有解法と重み付けされたサンプル行列の特異値分解の間の代数的等価性を導出する。 SVDに基づく固有値推定とKL係数の理論的$mathcalN(0,1)$ターゲットへの経験的分布の収束は、サンプルカウントの関数として特徴づけられる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6015898117103069
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: This report examines numerical aspects of constructing Karhunen-Loève expansions (KLEs) for second-order stochastic processes. The KLE relies on the spectral decomposition of the covariance operator via the Fredholm integral equation of the second kind, which is then discretized on a computational grid, leading to an eigendecomposition task. We derive the algebraic equivalence between this Fredholm-based eigensolution and the singular value decomposition of the weight-scaled sample matrix, yielding consistent solutions for both model-based and data-driven KLE construction. Analytical eigensolutions for exponential and squared-exponential covariance kernels serve as reference benchmarks to assess numerical consistency and accuracy in 1D settings. The convergence of SVD-based eigenvalue estimates and of the empirical distributions of the KL coefficients to their theoretical $\mathcal{N}(0,1)$ target are characterized as a function of sample count. Higher-dimensional configurations include a two-dimensional irregular domain discretized by unstructured triangular meshes with two refinement levels, and a three-dimensional toroidal domain whose non-simply-connected topology motivates a comparison between Euclidean and shortest interior path distances between the grid points. The numerical results highlight the interplay between the discretization strategy, quadrature rule, and sample count, and their impact on the KLE results.
• Abstract（参考訳）: 本稿では, 2次確率過程に対するKLE(Karhunen-Loève expansion)の数値的側面について検討する。 KLEは、第2種のフレドホルム積分方程式を通じて共分散作用素のスペクトル分解に依存し、計算格子上で離散化され、固有分解タスクに繋がる。 我々は、このフレドホルムに基づく固有解法と、重み付けされたサンプル行列の特異値分解の間の代数的等価性を導出し、モデルベースおよびデータ駆動KLEの構成に対して一貫した解を得る。 指数的および二乗指数的共分散カーネルの解析的固有解法は、1D設定における数値的一貫性と精度を評価する基準ベンチマークとして機能する。 SVDに基づく固有値推定とKL係数の理論的 $\mathcal{N}(0,1)$ターゲットへの経験的分布の収束は標本数関数として特徴づけられる。 高次元構成には、2つの微細化レベルを持つ非構造三角形メッシュによって離散化された2次元不規則領域と、非単純連結トロイダル領域がユークリッドと最短内部経路距離の比較を動機とする3次元トロイダル領域が含まれる。 数値計算の結果は, 離散化戦略, 二次規則, サンプル数との相互作用と, それらのKLE結果への影響を浮き彫りにした。

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