論文の概要: Diffusion Processes on Implicit Manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.07213v1
• Date: Wed, 08 Apr 2026 15:34:21 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-09 17:30:51.612763
• Title: Diffusion Processes on Implicit Manifolds
• Title（参考訳）: 入射多様体上の拡散過程
• Authors: Victor Kawasaki-Borruat, Clara Grotehans, Pierre Vandergheynst, Adam Gosztolai,
• Abstract要約: 本研究では, 基本多様体上の固有拡散を周囲空間で定義しながらキャプチャするデータ駆動型SDEを提案する。 この構造は、拡散の無限小発生器とそのカルレ・デュシャン(CDC)を近接グラフから推定することに依存する。 サンプルの数が増えるにつれて、誘導過程はその滑らかな多様体に対して経路の空間上の法則に収束することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.0944582921660175
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: High-dimensional data are often modeled as lying near a low-dimensional manifold. We study how to construct diffusion processes on this data manifold in the implicit setting. That is, using only point cloud samples and without access to charts, projections, or other geometric primitives. Our main contribution is a data-driven SDE that captures intrinsic diffusion on the underlying manifold while being defined in ambient space. The construction relies on estimating the diffusion's infinitesimal generator and its carré-du-champ (CDC) from a proximity graph built from the data. The generator and CDC together encode the local stochastic and geometric structure of the intended diffusion. We show that, as the number of samples grows, the induced process converges in law on the space of probability paths to its smooth manifold counterpart. We call this construction Implicit Manifold-valued Diffusions (IMDs), and furthermore present a numerical simulation procedure using Euler-Maruyama integration. This gives a rigorous basis for practical implementations of diffusion dynamics on data manifolds, and opens new directions for manifold-aware sampling, exploration, and generative modeling.
• Abstract（参考訳）: 高次元データは、しばしば低次元多様体の近くに横たわるものとしてモデル化される。 本研究では,このデータ多様体上の拡散過程を暗黙的に構築する方法について検討する。 つまり、ポイントクラウドサンプルのみを使用し、チャートやプロジェクション、その他の幾何学的プリミティブにアクセスできない。 我々の主な貢献はデータ駆動型SDEであり、周囲空間で定義されながら、基礎多様体上の内在的拡散をキャプチャする。 この構造は拡散の無限小発生器とCarré-du-champ(CDC)をデータから構築した近接グラフから推定することに依存する。 ジェネレータとCDCは共に、意図された拡散の局所確率的および幾何学的構造をコードする。 サンプルの数が増えるにつれて、誘導過程は確率経路の空間上の法則にその滑らかな多様体に収束することを示す。 我々はこの構造をImplicit Manifold-valued Diffusions (IMDs)と呼び、さらにオイラー・丸山積分を用いた数値シミュレーション手法を提案する。 このことは、データ多様体上の拡散力学の実践的な実装のための厳密な基礎を与え、多様体を意識したサンプリング、探索、生成モデリングのための新しい方向を開く。

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