論文の概要: Time-inhomogeneous diffusion geometry and topology

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2203.14860v1
• Date: Mon, 28 Mar 2022 16:06:17 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-03-29 13:38:24.837632
• Title: Time-inhomogeneous diffusion geometry and topology
• Title（参考訳）: 時間不均質拡散幾何学と位相
• Authors: Guillaume Huguet, Alexander Tong, Bastian Rieck, Jessie Huang, Manik Kuchroo, Matthew Hirn, Guy Wolf, Smita Krishnaswamy
• Abstract要約: 拡散凝縮(英: Diffusion condensation)は、各ステップが最初に計算し、そのデータに拡散演算子を適用する時間不均質な過程である。 我々はこの過程の収束と進化を幾何学的、スペクトル的、位相的観点から理論的に分析する。 我々の研究は拡散凝縮の収束に関する理論的洞察を与え、トポロジカルデータ解析と幾何学的データ解析のリンクを提供することを示している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 69.55228523791897
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Diffusion condensation is a dynamic process that yields a sequence of multiscale data representations that aim to encode meaningful abstractions. It has proven effective for manifold learning, denoising, clustering, and visualization of high-dimensional data. Diffusion condensation is constructed as a time-inhomogeneous process where each step first computes and then applies a diffusion operator to the data. We theoretically analyze the convergence and evolution of this process from geometric, spectral, and topological perspectives. From a geometric perspective, we obtain convergence bounds based on the smallest transition probability and the radius of the data, whereas from a spectral perspective, our bounds are based on the eigenspectrum of the diffusion kernel. Our spectral results are of particular interest since most of the literature on data diffusion is focused on homogeneous processes. From a topological perspective, we show diffusion condensation generalizes centroid-based hierarchical clustering. We use this perspective to obtain a bound based on the number of data points, independent of their location. To understand the evolution of the data geometry beyond convergence, we use topological data analysis. We show that the condensation process itself defines an intrinsic diffusion homology. We use this intrinsic topology as well as an ambient topology to study how the data changes over diffusion time. We demonstrate both homologies in well-understood toy examples. Our work gives theoretical insights into the convergence of diffusion condensation, and shows that it provides a link between topological and geometric data analysis.
• Abstract（参考訳）: 拡散凝縮(distribution condensation)は、意味のある抽象化をエンコードすることを目的とした、多スケールのデータ表現のシーケンスを生成する動的プロセスである。 多様体学習、復調、クラスタリング、高次元データの可視化に有効であることが証明されている。 拡散凝縮は、各ステップがまず計算し、次に拡散演算子をデータに適用する時間不均一なプロセスとして構成される。 我々はこの過程の収束と進化を幾何学的、スペクトル的、位相的観点から理論的に分析する。 幾何学的な観点からは、最小の遷移確率とデータの半径に基づいて収束境界を得るが、スペクトル的な観点では、我々の境界は拡散核の固有スペクトルに基づいている。 データ拡散に関する文献のほとんどは均質なプロセスに焦点を当てているため、我々のスペクトル結果は特に興味深い。 トポロジカルな視点から、拡散凝縮はセントロイドに基づく階層的クラスタリングを一般化する。 この視点を用いて,データポイント数に基づくバウンダリを,その位置とは無関係に取得する。 収束を超えたデータ幾何学の進化を理解するために、トポロジカルデータ解析を用いる。 凝縮過程自体が内在的拡散ホモロジーを定義することを示した。 この内在的トポロジと環境的トポロジを用いて拡散時間とともにデータがどのように変化するかを研究する。 両ホモロジーをよく理解されたおもちゃの例で示す。 本研究は拡散凝縮の収束に関する理論的知見を与え,位相的データ解析と幾何学的データ解析の関係を示す。

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