論文の概要: On the Unique Recovery of Transport Maps and Vector Fields from Finite Measure-Valued Data
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.07671v1
- Date: Thu, 09 Apr 2026 00:26:30 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-04-10 18:34:05.612755
- Title: On the Unique Recovery of Transport Maps and Vector Fields from Finite Measure-Valued Data
- Title（参考訳）: 有限値データによる交通地図とベクトル場の一様復元について
- Authors: Jonah Botvinick-Greenhouse, Yunan Yang,
- Abstract要約: 有限測度値データからベクトル場と輸送マップのユニークな回復を保証する。
特に、微分同相写像が有限個の密度上のプッシュフォワード作用から一意に特定できる一般条件を提供する。
我々は, 連続性, 対流, フォッカー-プランク, 対流-拡散-反作用方程式に関連するある種のPDE逆問題に対して, 新たな保証を与える方法を示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.5931690794670033
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We establish guarantees for the unique recovery of vector fields and transport maps from finite measure-valued data, yielding new insights into generative models, data-driven dynamical systems, and PDE inverse problems. In particular, we provide general conditions under which a diffeomorphism can be uniquely identified from its pushforward action on finitely many densities, i.e., when the data $\{(ρ_j,f_\#ρ_j)\}_{j=1}^m$ uniquely determines $f$. As a corollary, we introduce a new metric which compares diffeomorphisms by measuring the discrepancy between finitely many pushforward densities in the space of probability measures. We also prove analogous results in an infinitesimal setting, where derivatives of the densities along a smooth vector field are observed, i.e., when $\{(ρ_j,\text{div} (ρ_j v))\}_{j=1}^m$ uniquely determines $v$. Our analysis makes use of the Whitney and Takens embedding theorems, which provide estimates on the required number of densities $m$, depending only on the intrinsic dimension of the problem. We additionally interpret our results through the lens of Perron--Frobenius and Koopman operators and demonstrate how our techniques lead to new guarantees for the well-posedness of certain PDE inverse problems related to continuity, advection, Fokker--Planck, and advection-diffusion-reaction equations. Finally, we present illustrative numerical experiments demonstrating the unique identification of transport maps from finitely many pushforward densities, and of vector fields from finitely many weighted divergence observations.
- Abstract（参考訳）: 我々は,有限測度データからベクトル場と輸送マップを一意に回収することを保証するとともに,生成モデル,データ駆動力学系,PDE逆問題に対する新たな洞察を得る。
特に、微分同相写像が有限個の密度上のプッシュフォワード作用から一意に特定できる一般的な条件、すなわち、データ ${(ρ_j,f_\#ρ_j)\}_{j=1}^m$ が一意に$f$を決定するときである。
コーナリーとして、確率測度の空間における有限個のプッシュフォワード密度の差を測定することで微分同相性を比較する新しい計量を導入する。
また、滑らかなベクトル場に沿った密度の微分が観測され、例えば$\{(ρ_j,\text{div} (ρ_j v))\}_{j=1}^m$ が一意に$v$を決定するとき、無限小設定で類似の結果が証明される。
我々の分析はウィットニーとキーンズの埋め込み定理を利用しており、これは問題の本質的な次元にのみ依存し、要求された密度の$m$を見積もっている。
さらに、ペロン-フロベニウスとクープマン作用素のレンズを通して結果を解釈し、我々の手法が連続性、対流、フォッカー-プランク、対流-拡散-反作用方程式に関連するある種のPDE逆問題に対して、新しい保証をもたらすことを実証する。
最後に、有限個のプッシュフォワード密度からの輸送写像のユニークな同定と有限個の重み付き発散観測からのベクトル場の同定を実証する。
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