論文の概要: A Mathematical Theory of Ranking

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.09733v1
• Date: Thu, 09 Apr 2026 17:00:49 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-14 20:13:15.639289
• Title: A Mathematical Theory of Ranking
• Title（参考訳）: ランク付けの数学的理論
• Authors: Yin Cheng,
• Abstract要約: ランキングシステムはスカラースコアから順序付きリストを生成するが、ランキングそのものはペア比較にのみ依存する。 我々はこの観測を真面目に行う数学的理論を開発し、絶対的なスコアではなく対の辺りの分析を中心とする。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Ranking systems produce ordered lists from scalar scores, yet the ranking itself depends only on pairwise comparisons. We develop a mathematical theory that takes this observation seriously, centering the analysis on pairwise margins rather than absolute scores. In the linear case, each pairwise margin decomposes exactly into factor-level contributions. We prove that the resulting L_1 local influence share is the unique budgeting rule consistent with pure factor refinement. Aggregating local shares yields a global influence structure: in log-absolute-weight coordinates, this structure is the gradient of a convex potential, its Jacobian is a competition-graph Laplacian, and Influence Exchange -- the reallocation of pairwise control across model states -- satisfies a finite energy identity with a zero-exchange rigidity law. For nonlinear scoring, the pairwise margin remains well-defined, but factor-level decomposition becomes path-dependent due to cross-factor interactions. We prove an interaction-curvature theorem: factorwise path attribution is path-independent if and only if the relevant mixed partial derivatives vanish, recovering full factorwise uniqueness exactly in the additive regime. The framework extends through local linearization and Pairwise Integrated Gradients. The geometric arc continues through permutation space, score-space hyperplane crossings, discrete exactness and triangle curl, Hodge-like diagnostics, and root-space/Weyl-chamber geometry -- organized as successive interpretive closures of the same pairwise-first analytical progression.
• Abstract（参考訳）: ランキングシステムはスカラースコアから順序付きリストを生成するが、ランキングそのものはペア比較にのみ依存する。 我々はこの観測を真面目に行う数学的理論を開発し、絶対的なスコアではなく対の辺りの分析を中心とする。 線型の場合、各辺辺は正確に因子レベルの寄与に分解される。 得られたL_1局所的影響の共有は、純粋な要因の洗練と整合した独自の予算ルールであることが証明された。 対数絶対重み座標では、この構造は凸ポテンシャルの勾配であり、ヤコビアンは競合グラフのラプラシアンであり、インフルエンス・エクスチェンジ(英語版)(モデル状態間のペア制御の実数)はゼロ交換剛性法則で有限エネルギー恒等式を満たす。 非線形スコアリングでは、ペアのマージンは明確に定義されているが、因子レベルの分解はクロスファクター相互作用によってパス依存となる。 因子的経路帰属が経路非依存であることと、関連する混合部分微分が消えて、加法的状態において完全に因子的一意性を取り戻すことのみである。 このフレームワークは、局所線形化とペアワイズ統合勾配によって拡張される。 幾何学的弧は、置換空間、スコア空間の超平面交差、離散的完全性と三角形のカール、ホッジのような診断、ルート空間/ワイル・チャンバー幾何学を通して続く。

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