論文の概要: Quantum Eigenvalue Transformations for Arbitrary Matrices

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.19688v1
• Date: Tue, 21 Apr 2026 17:11:03 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-22 22:41:49.895165
• Title: Quantum Eigenvalue Transformations for Arbitrary Matrices
• Title（参考訳）: 任意行列に対する量子固有値変換
• Authors: Xabier Gutiérrez, Lorenzo Laneve, Mikel Sanz,
• Abstract要約: 本稿では,これらのアイデアを任意の正方行列に拡張する,単純かつ強力な手法を提案する。 この性質を持つ任意のユニタリにQSPを適用することは、ブロック符号化された$0行列に対して少なくとも$n$の次数を適用することと等価であることを示す。 また、任意のブロックエンコーディングを$O(log n)$ ancillary演算のみを使用して$n$-regular演算に変換する簡単な構成も提供します。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.19116784879310025
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Quantum Signal Processing (QSP) and Quantum Singular Value Transformation (QSVT) provide an efficient framework for implementing polynomials of block-encoded matrices, and thus offer a systematic approach to quantum algorithm design. However, despite a number of recent advances, important limitations remain. In particular, QSP can only transform unitary matrices, by applying a polynomial to their eigenvalues, while QSVT is a singular-value transformation and thus one can only obtain the polynomial of Hermitian matrices. As a consequence, these techniques do not directly apply to an arbitrary non-Hermitian matrix that is not diagonalizable. In this work, we propose a simple yet powerful method to extend these ideas to arbitrary square matrices by acting on their eigenvalues. To this end, we introduce the notion of an $n$-regular block encoding, namely, a block encoding whose $k$-th power reproduces the $k$-th power of the encoded matrix for every $0 < k < n$. We show that applying QSP to any unitary with this property is equivalent to applying a polynomial of degree at most $n$ to the block-encoded matrix, independently of its internal structure. Moreover, we provide a simple construction that transforms any block encoding into an $n$-regular one using only $O(\log n)$ ancillary qubits and operations. Finally, we show that this construction induces the desired transformation on the eigenvalues associated with the Jordan normal form of the matrix.
• Abstract（参考訳）: 量子信号処理(QSP)と量子特異値変換(QSVT)は、ブロック符号化行列の多項式を実装するための効率的なフレームワークを提供し、量子アルゴリズム設計への体系的なアプローチを提供する。 しかし、近年の進歩にもかかわらず、重要な制限が残っている。 特に、QSPは多項式を固有値に適用し、QSVTは特異値変換であり、したがってエルミート行列の多項式のみを得ることができる。 その結果、これらの手法は対角化不可能な任意の非エルミート行列に直接適用されない。 本研究では,これらのアイデアを任意の正方行列に拡張する,単純かつ強力な手法を提案する。 この目的のために、$n$正規ブロック符号化という概念を導入する。すなわち、$k$-thパワーが$0 < k < n$毎の符号化行列の$k$-thパワーを再現するブロック符号化である。 この性質を持つ任意のユニタリにQSPを適用することは、その内部構造とは無関係に、ブロック符号化行列に少なくとも$n$の次数多項式を適用することと等価であることを示す。 さらに、任意のブロックエンコーディングを$O(\log n)$ Acillary qubitsと演算のみを用いて$n$-regularに変換する簡単な構成を提供する。 最後に、この構成は行列のジョルダン正規形式に付随する固有値の所望の変換を誘導することを示す。

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