論文の概要: Confidence uncertainty: position and momentum can be jointly determined with a guaranteed probability
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.04484v1
- Date: Wed, 06 May 2026 04:29:01 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-05-07 18:41:07.642492
- Title: Confidence uncertainty: position and momentum can be jointly determined with a guaranteed probability
- Title（参考訳）: 信頼の不確実性: 位置と運動量は保証された確率と共同で決定できる
- Authors: Jia-Yi Lin, Xin-Yu Li, Wei Wang, Shengjun Wu,
- Abstract要約: ハイゼンベルクの不確実性原理は、粒子の位置と運動量は同時に鋭く決定できないというものである。
標準偏差とエントロピーの定式化は確率分布の拡散を捉えるが、小さな領域に含まれる確率そのものについてはほとんど言及しない。
自信の不確実性」$cx(_x)$を、粒子が少なくとも$_x$の確率で見つかるような支持集合の最小のルベーグ測度として導入する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.911044030089646
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
- Abstract: Heisenberg's uncertainty principle states that the position and momentum of a particle cannot be sharply determined simultaneously. Standard-deviation and entropic formulations capture the spread of the probability distribution but say little about the probability itself contained in a small region. We introduce the "confidence uncertainty" $Δ^{c}x(θ_x)$ as the minimal Lebesgue measure of the support set in which the particle is found with probability at least $θ_x$, and the companion "interval confidence uncertainty" $Δ^{I}x(θ_x)$ which restricts the support to a single interval. We prove two complementary uncertainty inequalities. (i) For $θ_x+θ_p\le 1$ both confidence uncertainties can be made arbitrarily small simultaneously, so that no nontrivial product bound holds; in particular, position and momentum can be jointly localised with probability at least~$50\%$. (ii) For $θ_x+θ_p>1$ a lower bound holds: combining Lenard's projection inequality with the Donoho--Stark operator-norm bound we obtain $Δ^{c}x\,Δ^{c}p\geq 2π\hbar\bigl(\sqrt{θ_xθ_p}-\sqrt{(1-θ_x)(1-θ_p)}\bigr)^{\!2}$, and for the interval version we obtain the sharp implicit Landau--Pollak bound $Δ^{I}x\,Δ^{I}p\geq 4\hbar\,λ_{0}^{-1}\!\bigl((\sqrt{θ_xθ_p}-\sqrt{(1-θ_x)(1-θ_p)})^{2}\bigr)$, where $λ_{0}(c)$ is the largest prolate-spheroidal eigenvalue. We support the analytical bounds with numerical evaluation of $λ_{0}(c)$, provide closed-form small-$c$ and large-$c$ asymptotics, compute the optimal Slepian-superposition states that saturate the interval bound, and compare the resulting product against the variance Heisenberg--Kennard, the Białynicki-Birula--Mycielski entropic, and the Donoho--Stark concentration bounds.
- Abstract（参考訳）: ハイゼンベルクの不確実性原理は、粒子の位置と運動量は同時に鋭く決定できないというものである。
標準偏差とエントロピーの定式化は確率分布の拡散を捉えるが、小さな領域に含まれる確率そのものについてはほとんど言及しない。
我々は、「自信の不確実性」$Δ^{c}x(θ_x)$ を、粒子が少なくとも$θ_x$ の確率で見つかるような支持集合の最小のルベーグ測度として導入し、同伴する「内部信頼不確実性」$Δ^{I}x(θ_x)$ を単一の区間に制限する。
我々は2つの相補的な不平等を証明した。
(i)$θ_x+θ_p\le 1$ 両信頼の不確かさを任意に小さくすることができるので、非自明な積境界が成り立たない。
(ii)$θ_x+θ_p>1$ 下界ホールド:レナードの射影不等式とドノホ-スターク作用素-ノルム境界を組み合わせれば、$Δ^{c}x\,Δ^{c}p\geq 2π\hbar\bigl(\sqrt{θ_xθ_p}-\sqrt{(1-θ_x)(1-θ_p)}\bigr)^{\!
2}$, and the interval version, we obtain the sharp implicit Landau--Pollak bound $Δ^{I}x\,Δ^{I}p\geq 4\hbar\,λ_{0}^{-1}\!
\bigl((\sqrt{θ_xθ_p}-\sqrt{(1-θ_x)(1-θ_p)})^{2}\bigr)$, ここでは、λ_{0}(c)$は、最大で球面固有値である。
解析的境界を$λ_{0}(c)$の数値的な評価で支持し、閉形式である small-$c$ と large-$c$ の漸近式を提供し、区間境界を飽和する最適スレピアン-重畳状態を計算するとともに、結果の積を分散ハイゼンベルク-ケナール、ビアウィニツキ-ビラ-ミセルスキエントロピー、ドノホ-スターク濃度境界と比較する。
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