論文の概要: MC$^2$: Monte Carlo Correction for Fast Elliptic PDE Solving
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.09288v1
- Date: Sun, 10 May 2026 03:32:46 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-05-12 23:28:50.169536
- Title: MC$^2$: Monte Carlo Correction for Fast Elliptic PDE Solving
- Title（参考訳）: MC$^2$:モンテカルロ補正による高速楕円PDE解法
- Authors: Ethan Hsu, Hong Meng Yam, Ivan Ge,
- Abstract要約: 我々は、低予算モンテカルロ解を真の体の構造的推定子として扱うPDE解法である textbfMC$2$ を提示する。
MC$2$は1000ドル以上のモンテカルロ計算で解の精度と一致する。
また、これまでで最大の標準楕円型PDEベンチマークである textbfPDEZoo もリリースしています。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.10923877073891443
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Partial differential equation (PDE) solvers underpin scientific computing, but real-world deployment is bounded by compute. Classical Monte Carlo solvers such as Walk-on-Spheres (WoS) are unbiased and geometry-agnostic but are slow. Learned solvers are fast but biased and brittle under distribution shift. We present \textbf{MC$^2$}, a hybrid WoS-Neural Network (WoS-NN) PDE solver that treats a low-budget Monte Carlo solution as a structured estimator of the true field and learns a single-pass neural correction to recover a high-fidelity solution. MC$^2$ matches the accuracy of solutions using over $1000\times$ more Monte Carlo compute, outperforming all evaluated classical, denoising, and neural-operator baselines. To enable reproducible study of finite-compute PDE solving, we additionally release \textbf{PDEZoo}, the largest standardized elliptic PDE benchmark to date: 2M PDEs spanning five elliptic families and unlimited geometric compositions, with analytic ground truth and multi-budget Monte Carlo trajectories. Together \textbf{MC$^2$} and \textbf{PDEZoo} (1) empirically establish that finite-sample Monte Carlo error is structured, learnable, and correctable in a single forward pass, (2) show that we can solve PDEs $\sim$\textbf{1000x} faster than with just WoS, and (3) provide the evaluation infrastructure the field has so far lacked.
- Abstract（参考訳）: 偏微分方程式(PDE)は科学計算の基盤となっているが、実世界の展開は計算によって境界づけられている。
ウォーク・オン・スフェール (WoS) のような古典的モンテカルロ解法は偏りがなく、幾何学的に依存しないが、遅い。
学習された解法は高速だが偏りがあり、分散シフトの下で脆弱である。
本稿では,WoS-Neural Network (WoS-NN) のハイブリッドPDEソルバである \textbf{MC$^2$} について述べる。
MC$^2$は1000\times$以上のモンテカルロ計算を用いて解の精度と一致し、評価された古典的、装飾的、ニューラル演算的ベースラインを上回ります。
有限計算PDE解の再現可能な研究を可能にするために,5つの楕円族と無制限な幾何構成からなる2M PDEを解析的基底真理と多予算モンテカルロ軌道を用いて,これまでで最大の標準楕円型PDEベンチマークである \textbf{PDEZoo} を新たにリリースする。
同時に \textbf{MC$^2$} と \textbf{PDEZoo} (1) は、有限サンプルモンテカルロ誤差が単一の前方通過で構造化され、学習可能で、修正可能であることを実証的に証明し、(2) が WoS よりも早く PDEs $\sim$\textbf{1000x} を解けることを示す。
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