論文の概要: Learning Where the Physics Is: Probabilistic Adaptive Sampling for Stiff PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.06287v1
• Date: Fri, 06 Mar 2026 13:46:38 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-09 13:17:45.807718
• Title: Learning Where the Physics Is: Probabilistic Adaptive Sampling for Stiff PDEs
• Title（参考訳）: 物理がどこにあるかを学ぶ:剛性PDEのための確率的適応サンプリング
• Authors: Akshay Govind Srinivasan, Balaji Srinivasan,
• Abstract要約: PIELMのカーネルを適応的にサンプリングする「物理の位置を表す確率密度関数」を学習するフレームワークを提案する。 重み付き期待最大化(EM)アルゴリズムを用いることで,GMM-PIELMは高数値誤差領域の放射基底関数中心を自律的に集中する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
• Abstract: Modeling stiff partial differential equations (PDEs) with sharp gradients remains a significant challenge for scientific machine learning. While Physics-Informed Neural Networks (PINNs) struggle with spectral bias and slow training times, Physics-Informed Extreme Learning Machines (PIELMs) offer a rapid, closed-form linear solution but are fundamentally limited by physics-agnostic, random initialization. We introduce the Gaussian Mixture Model Adaptive PIELM (GMM-PIELM), a probabilistic framework that learns a probability density function representing the ``location of physics'' for adaptively sampling kernels of PIELMs. By employing a weighted Expectation-Maximization (EM) algorithm, GMM-PIELM autonomously concentrates radial basis function centers in regions of high numerical error, such as shock fronts and boundary layers. This approach dynamically improves the conditioning of the hidden layer without the expensive gradient-based optimization(of PINNs) or Bayesian search. We evaluate our methodology on 1D singularly perturbed convection-diffusion equations with diffusion coefficients $ν=10^{-4}$. Our method achieves $L_2$ errors up to $7$ orders of magnitude lower than baseline RBF-PIELMs, successfully resolving exponentially thin boundary layers while retaining the orders-of-magnitude speed advantage of the ELM architecture.
• Abstract（参考訳）: 厳密な偏微分方程式(PDE)を鋭い勾配でモデル化することは、科学的な機械学習にとって重要な課題である。 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は、スペクトルバイアスと遅いトレーニング時間に苦しむ一方、物理学インフォームド・エクストリーム・ラーニング・マシン(PIELM)は、素早い閉形式線形解を提供するが、物理学に依存しないランダム初期化によって基本的に制限される。 本稿では,PIELMのカーネルを適応的にサンプリングする'物理配置'を表す確率密度関数を学習する確率的フレームワークであるGaussian Mixture Model Adaptive PIELM(GMM-PIELM)を紹介する。 GMM-PIELMは、重み付け期待最大化(EM)アルゴリズムを用いることで、ショックフロントや境界層などの高い数値誤差の領域において、放射基底関数中心を自律的に集中させる。 このアプローチは、高価な勾配に基づく最適化(PINN)やベイズ探索を使わずに隠れ層の条件付けを動的に改善する。 拡散係数が$ν=10^{-4}$の1次元特異摂動対流拡散方程式の方法論を評価する。 提案手法は,ベースラインRBF-PIELMよりも最大7ドルの誤差を最大7ドルの誤差で達成し,ELMアーキテクチャのオーダー・オブ・マグニチュード・スピードの優位性を保ちながら,指数関数的に薄い境界層を解くことに成功した。

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