論文の概要: Approximation Theory of Laplacian-Based Neural Operators for Reaction-Diffusion System

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.12025v1
• Date: Tue, 12 May 2026 12:13:04 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-13 21:48:56.845824
• Title: Approximation Theory of Laplacian-Based Neural Operators for Reaction-Diffusion System
• Title（参考訳）: 反応拡散系に対するラプラシア系ニューラルネットワークの近似理論
• Abstract要約: 一般化されたGierer-Meinhardt-diffusion系の初期状態から時間依存解への解写像に適用したニューラル作用素について検討する。 本研究の主な成果は,ネットワーク深度,幅,スペクトルランクの面での明示的な近似誤差境界を確立することである。 ラプラシア固有関数に基づくニューラルアーキテクチャは、一般的な演算子学習で発生するパラメトリック複雑性の呪いを軽減する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.86840788259762
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Neural operators provide a framework for learning solution operators of partial differential equations (PDEs), enabling efficient surrogate modeling for complex systems. While universal approximation results are now well understood, approximation analysis specific to nonlinear reaction-diffusion systems remains limited. In this paper, we study neural operators applied to the solution mapping from initial conditions to time-dependent solutions of a generalized Gierer-Meinhardt reaction-diffusion system, a prototypical model of nonlinear pattern formation. Our main results establish explicit approximation error bounds in terms of network depth, width, and spectral rank by exploiting the Laplacian spectral representation of the Green's function underlying the PDE. We show that the required parameter complexity grows at most polynomially with respect to the target accuracy, demonstrating that Laplacian eigenfunction-based neural operator architectures alleviate the curse of parametric complexity encountered in generic operator learning. Numerical experiments on the Gierer-Meinhardt system support the theoretical findings.
• Abstract（参考訳）: ニューラルネットワークは、偏微分方程式(PDE)の解演算子を学習するためのフレームワークを提供する。 現在、普遍近似結果はよく理解されているが、非線形反応拡散系に特有の近似解析は限られている。 本稿では,非線形パターン形成の原型モデルである一般化されたジエラー・メインハルト反応拡散系の初期状態から時間依存解への解写像に適用したニューラル作用素について検討する。 本研究の主な成果は,PDEに基づくグリーン関数のラプラシアンスペクトル表現を利用して,ネットワーク深さ,幅,スペクトルランクの明示的な近似誤差境界を確立することである。 目的の精度に関して,要求パラメータの複雑性は多項式的に増加することが示され,ラプラシア固有関数に基づくニューラル演算系アーキテクチャは,一般的な演算子学習において発生するパラメトリック複雑性の呪いを緩和することを示した。 Gierer-Meinhardt系の数値実験は理論的な発見を支持する。

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