論文の概要: Orthogonal Polynomials and the MacWilliams Transform for Permutation-Invariant Qudit Codes
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.15372v1
- Date: Thu, 14 May 2026 19:58:50 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-05-18 21:22:26.079659
- Title: Orthogonal Polynomials and the MacWilliams Transform for Permutation-Invariant Qudit Codes
- Title（参考訳）: 置換不変量子符号に対する直交多項式とMacWilliams変換
- Abstract要約: 我々は、置換不変のqudit符号に対する固有のMacWilliams変換の明示的な公式を導出する。
結果として得られる公式は、置換不変のqudit符号上の線形プログラミング境界を計算するための明示的なMacWilliams行列を提供する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.538209532048867
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We derive an explicit formula for the intrinsic MacWilliams transform for permutation-invariant qudit codes. Such codes naturally live in symmetric power representations, where the relevant error sectors are determined by the irreducible decomposition of the conjugation action on the associated operator space. Using the multiplicity-free structure of this decomposition and the corresponding intertwiner algebra, we identify the intrinsic MacWilliams matrix with a finite Racah transform. The entries are given by a terminating hypergeometric series, and the rows of the matrix are Racah orthogonal polynomials with parameters determined explicitly by the block length and local dimension. Computing the spectrum of the degree-one twirl reveals that this spectrum lies on an affine quadratic lattice. Then we derive a tridiagonal multiplication rule from the representation theory of the adjoint sector. As consequences, we obtain closed-form orthogonality, detailed-balance, and involutivity identities for the transform. The resulting formula supplies an explicit MacWilliams matrix for computing linear programming bounds on permutation-invariant qudit codes.
- Abstract（参考訳）: 我々は、置換不変のqudit符号に対する固有のMacWilliams変換の明示的な公式を導出する。
このような符号は自然に対称的なパワー表現に存在し、関連する誤差セクターは、関連する作用素空間上の共役作用の既約分解によって決定される。
この分解の多重性のない構造とそれに対応するインターツウィナー代数を用いて、有限ラカ変換を持つ固有のMacWilliams行列を同定する。
成分は終端超幾何級数で与えられ、行列の行はブロック長と局所次元によって明示的に決定されるパラメータを持つラカフ直交多項式である。
次数1のツワールのスペクトルを計算すると、このスペクトルがアフィン二次格子上にあることが分かる。
そして、随伴セクターの表現論から三対角乗法則を導出する。
その結果、変換に対する閉形式直交性、詳細バランス、およびインボリューティニティが得られる。
結果として得られる公式は、置換不変のqudit符号上の線形プログラミング境界を計算するための明示的なMacWilliams行列を提供する。
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