論文の概要: Generalized Bicycle Codes as Cyclic Submodules and their Automorphism Structure

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.05044v1
• Date: Wed, 03 Jun 2026 16:05:40 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-04 20:44:18.88178
• Title: Generalized Bicycle Codes as Cyclic Submodules and their Automorphism Structure
• Title（参考訳）: サイクル部分加群としての一般化自転車符号とその自己同型構造
• Authors: AJ Davenport, John Blue, Isaac Chuang,
• Abstract要約: 一般化自転車(GB)符号の自己同型解析と工学的手法を開発する。 これらの条件をフォールド変換ゲートフレームワークに接続し、$H CX-, $S$-, $CX$-型フォールド変換ゲートの存在の明確な基準を提供する。 これらのメソッドを使用して、ゼロからリッチな自己同型構造の周りにコードを構築する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Automorphisms of quantum codes, when they exist, offer a pathway toward fault-tolerant gate implementation via qubit relabeling. Although useful, the conditions under which automorphisms appear in a given code remain poorly understood. In this paper, we develop an algebraic framework for systematically analyzing and engineering automorphisms in Generalized Bicycle (GB) codes. Central to our approach is the derivation of a three-space dependency between the polynomial ring space, the parity check matrix space, and the $\mathbb{F}_2^{2\ell}$ qubit space, similar to the structure found in the study of classical cyclic codes. By expressing GB codes as a pair of cyclic submodules of $R_\ell^2$, where $R_\ell \cong \mathbb{F}_2[x]/\langle x^\ell-1\rangle$, we reduce the search for code automorphisms to a deterministic algebraic problem, deriving necessary and sufficient conditions for the existence of block-separable automorphisms built from cyclic shifts, ring automorphisms and block-swaps. We connect these conditions to the fold-transversal gate framework, providing explicit criteria for the existence of $H$-, $S$-, and $CX$-type fold-transversal gates. We further discuss structured bases for logical operators in order to determine the logical action of a given automorphism. Finally, we introduce the Maximal Cube Root (MCR) code family, a family of GB codes constructed around the principle of maximizing automorphism flexibility and fold-CX gates. We demonstrate a collection of $k=2$ MCR codes up to $d=13$ generating the 2-qubit Clifford group via automorphism and fold-transversal gates, with stabilizer weight ranging from 8 to 16, and $k>2$ MCR codes with a minimum of 20 distinct logical gates achievable from automorphisms. This serves as a first demonstration of inverse design: using these methods to build codes around a rich automorphism structure from the ground up.
• Abstract（参考訳）: 量子符号の自己同型は、存在すれば、qubit relabelingによるフォールトトレラントゲート実装への経路を提供する。 有用ではあるが、与えられたコードに自己同型が現れる条件はよく分かっていない。 本稿では,一般化自転車 (GB) 符号における自己同型を体系的に解析・工学的に解析する代数的フレームワークを開発する。 我々のアプローチの中心は、多項式環空間、パリティチェック行列空間と$\mathbb{F}_2^{2\ell}$ qubit 空間の間の3次元空間依存性の導出である。 GB コードを $R_\ell^2$ の巡回部分加群として表現することで、$R_\ell \cong \mathbb{F}_2[x]/\langle x^\ell-1\rangle$ は、決定論的代数問題へのコード自己同型探索を減らし、巡回シフト、環自己同型、ブロックスワップから構築されたブロック分離自己同型の存在に必要な十分条件を導出する。 これらの条件をフォールド変換ゲートフレームワークに接続し、$H$-, $S$-, $CX$-型フォールド変換ゲートの存在の明確な基準を提供する。 さらに、与えられた自己同型の論理的作用を決定するために、論理作用素の構造化基底について論じる。 最後に、自己同型フレキシビリティとフォールド-CXゲートを最大化する原理に基づいて構築されたGBコード群である最大キューブルート(MCR)コードファミリを紹介する。 自己同型およびフォールド変換ゲートによる2-qubit Clifford群を生成する$k=2$ MCR符号と、自己同型から得られる最小20個の論理ゲートを持つ$k>2$ MCR符号のコレクションを実証する。 これらのメソッドを使用して、ゼロからリッチな自己同型構造の周りにコードを構築する。

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